Discrete kansmodellen

Discrete kansmodellen > Wortel-n-wet

123456789Wortel-n-wet

Uitleg

Met boogschieten schiet je `20` keer met een pijl op de roos (0, 1, 2, ..., 10 punten te behalen) Je kansverdeling per schot is:

`x`	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
`text(P)(X=x)`	0,02	0,02	0,04	0,10	0,09	0,11	0,12	0,12	0,15	0,15	0,08

$x$	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`10`
$P (X = x)$	`0,02`	`0,02`	`0,04`	`0,10`	`0,09`	`0,11`	`0,12`	`0,12`	`0,15`	`0,15`	`0,08`

De verwachting per schot is `6,22` punten met een standaardafwijking van `2,56` punten. Omdat elk schot onafhankelijk is van het voorgaande kun je zowel de optelregel voor verwachtingswaarden als die voor varianties toepassen: `text(E)(20 X)=text(E)(X+X+... +X)=text(E)(X)+text(E)(X)+... +text(E)(X)=20 *text(E)(X)` en `text(Var)(20 X)=text(Var)(X+X+... +X)=text(Var)(X)+text(Var)(X)+... +text(Var)(X)=20 *text(Var)(X)` .

Dus bij het totaal van `20` schoten is:

de verwachtingswaarde `text(E)(20 X)≈20 *6,22 =124,4` punten
de standaarddeviatie `σ(20 X)=sqrt(20 *text(Var)(x))=sqrt(20 * ((σ(X))) ^2)=sqrt(20 )*σ(X)≈11,45` punten. Dit noemen we de wortel-n-wet.

Voor het gemiddelde aantal punten per schot deel je deze getallen door `20` . De verwachting wordt dan natuurlijk weer `6,22` . Maar de standaardafwijking wordt ongeveer `(11,45)/20≈0,57` en dus veel kleiner dan bij één schot.

Opgave 1

In de uitleg is `X` het aantal punten dat je per schot kunt behalen bij het boogschieten op een roos. Schiet je `12` keer op die roos, dan heb je het over de stochast `12 X` .

Controleer dat `text(E)(X)≈6,22` en `σ(X)≈2,56` .

Hoeveel punten verwacht je te halen als je `12` keer op die roos schiet? En met welke standaardafwijking?

Hoeveel punten verwacht je gemiddeld per schot te halen als je `12` keer op die roos schiet? Met welke standaardafwijking?

Ligt het voor de hand dat de standaardafwijking kleiner wordt naarmate je vaker op de roos schiet?

Opgave 2

`X` stelt het aantal ogen op een dobbelsteen voor.

`2 X` stelt het aantal ogen voor als je met twee dobbelstenen werpt. Bereken `text(E)(2 X)` en `σ(2 X)` .

Welk verband is er tussen `text(E)(X)` en `text(E)(2 X)` en tussen `σ(X)` en `σ(2 X)` ?

`M` is het gemiddelde aantal ogen per worp als je met twee dobbelstenen werpt. Bereken `text(E)(M)` en `σ(M)` .

Welk verband is er tussen `text(E)(X)` en `text(E)(M)` en tussen `σ(X)` en `σ(M)` ?

Opgave 3

In een doos zitten vijf balletjes met daarop de getallen 2, 3, 5, 7 en 12.

Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking voor het getal dat je krijgt bij het aselect trekken van één balletje.

Je trekt twee balletjes met teruglegging. Welke mogelijke getalcombinaties kun je daarbij aantreffen? Bepaal van alle mogelijke tweetallen het gemiddelde. Bepaal van deze gemiddelden de verwachtingswaarde en de standaardafwijking.

Welk verband bestaat er tussen de verwachtingswaarden die je bij a en b hebt berekend?

Laat zien dat je de standaardafwijking bij b ook had kunnen vinden door de standaardafwijking van a te delen door `sqrt(2)` . Geef hiervoor een verklaring.

verder | terug