Discrete kansmodellen

Opgave 11

Neem aan dat stochast `X` binomiaal verdeeld is. Bepaal onderstaande kansen in vier decimalen nauwkeurig.

a

`text(P)(X≤6 |n=20 text( en ) p=0,45 )`

b

`text(P)(X>8 |n=15 text( en ) p=0,35 )`

c

`text(P)(X≥46 |n=50 text( en ) p=0,55 )`

d

`text(P)(X≤5 |n=25 text( en ) p=0,25 )`

e

`text(P)(X < 16 |n=30 text( en ) p=0,45 )`

Opgave 12

Je werpt met een geldstuk dat niet geheel eerlijk is. De kans op munt is `0,45` . Je werpt `20` keer met dit geldstuk. Bereken de kans op:

a

precies vijf keer kruis;

b

niet meer dan vijf keer kruis;

c

meer dan vijf keer kruis;

d

minder dan vijf keer kruis;

e

zeven of acht keer kruis.

Opgave 13

Een volledig kaartspel bestaat uit `52` kaarten, van elke kleur (ruiten, harten, klaveren en schoppen) evenveel. Uit zo'n kaartspel wordt zes keer een kaart getrokken: er wordt gekeken of het een hartenkaart is of niet. De kaart die je trekt wordt steeds in het spel terugstopt alvorens een nieuwe kaart te nemen. Het spel kaarten wordt voor iedere trekking geschud.

a

Waarom is hier sprake van een binomiaal kansmodel?

b

Hoe groot is dan de kans op hoogstens drie hartenkaarten?

c

Hoe groot is de kans dat je meer dan drie hartenkaarten trekt?

d

Waarom is er geen sprake van een binomiaal kansmodel als je de getrokken kaarten niet teruglegt?

Opgave 14

Iemand vult bij een meerkeuzetoets volkomen willekeurig `32` keer een van de vier antwoordmogelijkheden in. Er is telkens maar één van deze keuzemogelijkheden juist. De toets wordt met een voldoende beoordeeld als er meer dan `22` vragen juist zijn ingevuld.

a

Bepaal het aantal verwachte correcte antwoorden van de gokker.

b

Bepaal de kans dat de gokker toch een voldoende haalt.

c

Bepaal de standaardafwijking van het aantal goed gegokte antwoorden.

Opgave 15

`X` is een binomiaal verdeelde toevalsvariabele.

a

Voor welke waarde van `x` geldt: `text(P)(X≤x|n=18 text( en ) p=0,45 ) < 0,7473`

b

Voor welke steekproefgrootte `a` geldt: `text(P)(X≥4 |n=a text( en ) p=0,20 ) < 0,40`

c

Hoe groot (afgerond op `2` decimalen) moet de kans `p_0` minstens zijn, als: `text(P)(X=4 |n=9 text( en ) p=p_0 )>0,2`

Opgave 16

Van een binomiaal verdeelde stochast `X` weet je dat de verwachtingswaarde `2 2/3` is. De standaardafwijking is `1 1/3` .

Bereken `text(P)(X=4 )` .

Opgave 17

Een meerkeuzetoets bestaat uit `50` vragen, elk met vier mogelijke antwoorden, waarvan er slechts één juist is.

De docente die deze toets heeft gemaakt wil de normering ervan vaststellen. De cijfers worden tot op één decimaal nauwkeurig berekend; het laagst mogelijke cijfer is 1,0 en het hoogst mogelijke 10,0. Zij wil bij het vaststellen van het cijfer het gokken van antwoorden zo min mogelijk belonen.

a

Ze zou er daartoe voor kunnen kiezen om het aantal verwachte goede antwoorden bij zuiver gokken niet te belonen. Verder werkt ze met een vast aantal punten per vraag.

Welke normering zou ze dan het best kunnen hanteren?

b

Zij kan ook besluiten dat bij willekeurig invullen de kans op het cijfer `4,0` of hoger bij benadering niet meer dan `3` % mag zijn. Voor hoeveel goede antwoorden wordt dan het cijfer `4,0` gegeven?

c

Is de tweede methode soepeler dan de eerste? Licht je antwoord toe.

d

Stel je voor dat je op `30` vragen zonder meer het antwoord weet en de rest gokt. Bereken bij elk van deze normeringen het cijfer dat je dan mag verwachten.

Ga er nu van uit dat er een zuiver lineaire puntenverdeling wordt gehanteerd:

bij `0` tot `5` vragen goed krijg je een 1,0;
bij `6` vragen goed krijg je een 1,2;
bij `7` vragen goed krijg je een 1,4;
enzovoorts;
bij `50` vragen goed een 10,0.

e

Je weet op `30` vragen het goede antwoord en besluit de rest van de vragen op goed geluk in te vullen. Welk cijfer kun je verwachten?

f

Bereken de kans dat je 7,6 of meer scoort.

g

Bij `n` zeker goede antwoorden en de overige vragen willekeurig invullen is de kans op minstens 7,0 groter dan `90` %. Bereken `n` .

Opgave 18

Van een grote populatie is bekend dat `35` % een bepaalde eigenschap bezit. Uit deze populatie wordt heel erg vaak een willekeurige groep van `100` mensen gekozen. Gemiddeld wordt er in `15` % van die steekproeven minder dan een bepaald aantal mensen aangetroffen worden met die eigenschap.

a

Hoe groot is dit aantal?

Van een andere populatie is bekend dat `1 /6` een bepaalde eigenschap bezit. Uit deze populatie wordt een steekproef getrokken. De kans dat in deze steekproef hoogstens drie elementen worden aangetroffen met die eigenschap is `0,75` .

b

Bepaal de grootte van de steekproef.

Opgave 19

Een leugendetector meet allerlei aspecten van het lichaam (ademhaling, hartslag, bloeddruk, zweten) tijdens een verhoor. Het idee achter het gebruikvan een leugendetector is dat iemands lichaam zich gedraagt wanneer hij of zij liegt dan wanneer hij of zij de waarheid spreekt.

Men heeft onderzocht in hoeverre een leugendetector betrouwbaar is. De uitkomsten zijn als volgt:

als iemand liegt, wordt hij door de leugendetector in `88` % van de gevallen ook als leugenaar aangewezen (en in `12` % van de gevallen wordt hij niet als leugenaar aangewezen);
als iemand de waarheid spreekt, wordt hij door de leugendetector in `25` % van de gevallen toch als leugenaar aangewezen (en in `75` % van de gevallen wordt hij niet als leugenaar aangewezen).

Naar: examen vwo b1, 2009 - II

Vijf mensen worden onderworpen aan een verhoor. Het is zeker dat één van hen
liegt en dat de andere vier personen de waarheid spreken. Bij het verhoor wordt
gebruikgemaakt van de leugendetector.

a

Bereken de verwachtingswaarde van het aantal personen dat bij dit verhoor door
de leugendetector als leugenaar wordt aangewezen.

Er zijn twee manieren waarop de leugendetector één van de vijf mensen die worden verhoord kan aanwijzen als leugenaar:

de leugenaar wordt aangewezen als leugenaar en de waarheidsprekers niet;
één van de waarheidsprekers wordt aangewezen als leugenaar en de andere vier personen niet.

b

Bereken de kans dat één van deze vijf mensen door de leugendetector als leugenaar wordt aangewezen.

De kans dat iemand die de waarheid spreekt toch door de leugendetector als leugenaar wordt aangewezen, is `25` %. Daaruit volgt bijvoorbeeld dat de kans dat hij van tien mensen die de waarheid spreken er minstens één aanwijst als leugenaar ongeveer `94` % is. Dat is onacceptabel hoog. De leugendetector moet worden verbeterd zo dat de kans dat hij van tien mensen die de waarheid spreken er minstens één als leugenaar aanwijst, hoogstens `50` % is.

c

Bereken hoe groot de kans maximaal mag zijn dat de leugendetector iemand die de waarheid spreekt als leugenaar aanwijst.

Verwerken