Discrete kansmodellen

Opgave 7

De opa van Tom heeft een oude auto die moeilijk start. Tom heeft tijdens een zomervakantie geturfd hoe vaak z'n opa moest starten alvorens de motor echt ging lopen:

Aantal startpogingen voordat de motor loopt	Frequentie
`1`	`9`
`2`	`17`
`3`	`16`
`4`	`3`

Hoe vaak verwacht je op basis van deze frequentietabel dat Toms opa zijn auto moet starten voordat de motor aanslaat?

Opgave 8

Met een achtvlaksdobbelsteen kun je `1` tot en met `8` ogen gooien.

a

Maak de kansverdeling voor het aantal ogen `O` dat je kunt gooien met een achtvlaksdobbelsteen.

b

Bereken de kans dat je met één keer werpen met een achtvlaksdobbelsteen meer dan `5` ogen gooit.

c

Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van het aantal ogen `O` dat je met een achtvlaksdobbelsteen kunt gooien.

Opgave 9

Iemand heeft de tijd (in seconden) gemeten van een groot aantal proefpersonen, die ze nodig hadden om op een foto een bepaald voorwerp te herkennen. De resultaten staan in deze tabel.

$t$	1	2	3	4	5	6	7	8
$P (T = t)$	0,04	0,08	0,15	0,28	0,25	0,17	0,02	0,01

De relatieve frequenties kun je opvatten als de kansen dat het voorwerp na zoveel seconden werd gevonden.

a

Hoe groot is de kans dat het voorwerp door een willekeurige proefpersoon na `3` seconden wordt herkend? Hoe groot is de kans dat hij er langer over doet?

b

Deze kansverdeling is zo op het oog redelijk klokvormig verdeeld (check dat voor jezelf!).

Wat kun je dan zeggen over de relatie tussen de verwachtingswaarde en de mediaan en over hun waarde?

En welke benadering van de standaardafwijking verkrijg je met de vuistregels van klokvormige verdelingen?

c

Hoeveel tijd verwacht je dat een proefpersoon nodig heeft om het voorwerp te herkennen? Welke standaardafwijking hoort daar bij?

d

Hoe groot is de kans dat de herkenningstijd die een proefpersoon nodig heeft meer dan een standaarddeviatie van de verwachtingswaarde afwijkt?

Opgave 10

De eigenaar van een ijssalon verdient € 300,00 op een mooie dag. Bij minder goed weer heeft hij een verlies van € 60,00. De kans op een mooie dag is `0,3` .

Hoeveel bedraagt de winstverwachting van deze kleine zelfstandige?

Opgave 11

In een vaas zitten twee witte en drie rode balletjes. Uit deze vaas worden zonder teruglegging balletjes getrokken, net zolang tot er een wit balletje wordt getrokken.

Wat is de verwachting en de standaarddeviatie van het aantal benodigde trekkingen?

Opgave 12

Je wilt in een casino meedoen met het volgende spel: Na inzet van 1 euro mag je met drie dobbelstenen werpen. Gooi je één of meer zessen, dan krijg je je inzet terug plus voor iedere zes in de worp 1 euro extra.

a

Bereken de winstverwachting van dit spel.

b

Aan een andere tafel wordt hetzelfde spel gespeeld, maar nu met vier dobbelstenen. Ga door berekening na of hierdoor de winstverwachting verandert.

Opgave 13

In een suikerfabriek staan twee machines voor het vullen van pakken suiker. Bij het afstellen op `1` kg blijken beide machines inderdaad pakken te vullen van ongeveer `1` kg, maar er komen toch wel behoorlijke afwijkingen voor. De volgende relatieve frequentieverdeling geeft dat weer:

`x`	`970`	`980`	`990`	`1000`	`1010`	`1020`	`1030`
P( `X_1 =x` )	`0,04`	`0,07`	`0,12`	`0,18`	`0,25`	`0,29`	`0,05`
P( `X_2 =x` )	`0,00`	`0,00`	`0,15`	`0,30`	`0,35`	`0,20`	`0,00`

waarbij `X_1` staat voor machine 1 en `X_2` voor machine 2.

	$x$	970	980	990	1000	1010	1020	1030
Machine 1	$P (X_{1} = x)$	0,04	0,07	0,12	0,18	0,25	0,29	0,05
Machine 2	$P (X_{2} = x)$	0,00	0,00	0,15	0,30	0,35	0,20	0,00

Deze frequentieverdelingen kun je opvatten als kansverdelingen.

a

Toon aan dat beide kansverdelingen dezelfde verwachtingswaarde hebben. Hoe groot is die verwachting?

b

Teken bij beide kansverdelingen een kanshistogram (op papier, digitaal of op je grafische rekenmachine).

c

Welk bezwaar heb je wanneer als maat voor de spreiding het verschil tussen de grootste en kleinste waarde wordt genomen?

d

Een andere maat voor de spreiding is de standaarddeviatie. Wat kun je, puur op basis van de beide kanshistogrammen, al zeggen over het verschil in de beide standaarddeviaties?

e

Bereken de variantie en de standaarddeviatie voor de stochasten `X_1` en `X_2` die behoren bij de beide vulmachines.

f

Hoeveel procent van de pakken suiker wijkt minder dan de standaarddeviatie van het gemiddelde af? Bereken dit percentage voor beide machines afzonderlijk.

Opgave 14

Hoeveel meisjes mag je in een gezin met drie kinderen verwachten, als de kans op de geboorte van een meisje `48` % is?

Opgave 15

In een speelhal kun je het volgende spel spelen. In een vaas zitten `7` ballen: `4` witte en `3` zwarte. Een speler doet willekeurig een greep van drie ballen uit de vaas. Voor elke witte bal in zijn greep ontvangt hij `1` euro (en voor een zwarte bal ontvangt hij niets). De inzet die de speler aan de speelhal moet betalen is € `1,75` per spel.

Per keer spelen ontvangt een speler dus `0` , `1` , `2` of `3` euro. De kansen op deze vier mogelijkheden zijn achtereenvolgens: `1/35` , `12/35` , `18/35` en `4/35` .

Naar: examen vwo b1, 2008 I

a

Toon aan dat de kans op `2` euro inderdaad `18/35` is.

Iemand besluit het spel zestien keer te spelen. Hij maakt in een spel winst als hij meer dan € `1,75` ontvangt. De kans dat hij ten minste tien keer winst zal maken is groter dan `1/2` .

Het lijkt dus wel gunstig voor een speler om het spel te spelen. Maar, schijn bedriegt!

b

Toon aan dat de speelhal op de lange termijn toch winst zal maken met dit spel.

Verwerken