Discrete kansmodellen > TotaalbeeldToepassen
Gokken is "in" . Er bestaat tegenwoordig een grote hoeveelheid kansspelen. Het aanbod loopt van simpele Krasloten tot de keurige Staatsloterij en de spelen in het chique Casino. Verder kan er meegespeeld worden aan de Postcodeloterij, de Bankgiroloterij, de Duitse Lotto, etc. Allemaal mogelijkheden om in één klap binnen te zijn.
Belangrijk bij kansspelen is "de verwachte winst" . Om dat getal exact te bepalen moet je de kansverdeling weten. Soms kun je die beredeneren, maar je kunt ook het spel vele keren spelen en de gemiddelde winst bepalen. Dat getal is een schatting voor de verwachting. Dat vele malen spelen van een spel kun je simuleren. Je werkt dan met toevalsgetallen, getallen die volstrekt aselect uit een bepaald interval worden gekozen. Ze hebben dus alle dezelfde kans om gekozen te worden. Je weet al hoe je die met je grafische rekenmachine kunt genereren. Maar je kunt daarvoor ook een spreadsheetprogramma gebruiken.
Bekijk eerst een paar kleine kansspelen.
Het gooispel:
Je geeft iemand € 10,00. Die ben je kwijt. Vervolgens werp je met een dobbelsteen
tot je een
`6`
gooit. Je ontvangt € 0,00 als je meteen een
`6`
gooit; € 1,00 als dat bij de tweede worp lukt, € 2,00 bij de derde worp, € 4,00 bij
de vierde worp, enzovoort.
Het knipspel:
Dit keer moet je vooraf € 25,00 betalen. Daarna wordt een touwtje van
`10`
cm lengte volstrekt willekeurig in drie stukken geknipt. Als je met die drie stukken
een scherphoekige driehoek kunt vormen dan ontvang je € 100,00. Lukt dat niet dan
ontvang je niets. Het knippen kun je simuleren met toevalsgetallen.
Bekijk vervolgens één of meer van de grotere kansspelen en analyseer ze. De spelregels zijn vaak via internet te vinden. Die heb je nodig voor een goede analyse van het spel. Zie:
Bepaal ook nu je winstkansen.
In de laatste week voor sinterklaas staat bij de ingang van een groot winkelbedrijf een grote draaiende trommel. Daarin zitten `1000` onderling niet te onderscheiden pakjes. De Goede Sint heeft in een aantal een cadeautje ter waarde van € 1,00 gestopt. Alle andere pakjes bevatten een cadeautje van € 9,00. De totale inhoud van `1000` pakjes is telkens € 3000,00 waard. Er is een ingenieus systeem bedacht dat ervoor zorgt dat wanneer er een pakje uit de trommel genomen wordt er onmiddellijk weer een pakje met dezelfde cadeauwaarde in terugkomt.
Je neemt één pakje. Toon aan dat de kans dat daarin een cadeautje van € 1,00 zit `0,75` is.
Stel, je kunt dit niet aantonen. In plaats daarvan neem je `20` pakjes. De kans om hierbij `4` pakjes van € 9,00 aan te treffen is `0,1897` . Wat is de kans op een pakje van € 1,00 als je één pakje neemt?
Bereken de kans dat een greep van `20` pakjes minstens `14` met een cadeau van € 1,00 bevat.
Bereken de kans op een pakje van € 9,00 als je twee pakjes neemt.
Hoeveel pakjes moet je uit de mand halen, wil de kans dat één van die pakjes er een van € 9,00 is, `35,6` % bedragen?
Bij de trommel staat Piet die de bezoekers aanspoort om tegen betaling van € 5,00 één pakje uit de trommel te nemen.
Laat zien dat het winkelbedrijf op `1000` pakjes € 2000,00 winst maakt.
Stel je voor dat je `50` pakjes koopt. Bereken de kans dat je `52` % van het betaalde bedrag in de vorm van cadeautjes terugverdient.
Bereken de kans dat de waarde van je pakjes kleiner is dan het bedrag dat je hebt betaald als je drie pakjes koopt.
Van een pijnstiller is bekend dat, wanneer je er één pil van inneemt, de kans dat je binnen een half uur geen pijn meer voelt `0,6` is. Het middel wordt door `50` mensen met pijn gebruikt, ze nemen allen één pil.
Wat is de kans dat binnen een half uur van deze `50` mensen er minstens `40` geen pijn meer voelen?
Hoe groot is de kans dat `25` tot `45` mensen binnen een half uur geen pijn meer voelen?
Een andere fabrikant van pijnstillers maakt via een landelijke reclameactie bekend
een betere pijnstiller gevonden te hebben. Deze fabrikant beweert dat de kans om binnen
een half uur geen pijn meer te voelen
`0,8`
is. De reclamecodecommissie wil die bewering onderzoeken.
Het middel wordt daartoe aan
`50`
willekeurig gekozen mensen met pijn gegeven. De reclamecodecommissie besluit geen
actie tegen de fabrikant te ondernemen als van de
`50`
mensen die het nieuwe middel kregen, er
`37`
binnen een half uur geen pijn meer voelen.
Bereken de kans dat de commissie geen actie tegen de fabrikant zal ondernemen terwijl hun pijnstiller in feite helemaal niet beter is. De kans dat pijn verdwijnt dankzij dit middel, net als voor het concurrerende medicijn, is dus `0,6` .
De directie van een hotel wil inzicht krijgen in de kwaliteit van de bediening. Zij besluit om gasten die het hotel verlaten hun mening hierover te vragen. De mogelijke antwoorden zijn: "goed" , "redelijk" en "slecht" . De manager heeft ontdekt dat `70` % van de gasten "goed" opgeeft, dat `20` % "redelijk" zegt en dat `10` % de bediening "slecht" noemt. Een groot deel van de gasten bestaat uit tweetallen die samen één kamer hebben bewoond. Van zo’n tweetal kunnen beiden hetzelfde antwoord hebben gegeven, maar dat hoeft natuurlijk niet.
Hoe groot is de kans dat van zo’n tweetal gasten beiden "slecht" antwoorden?
Hoe groot is de kans dat bij zo’n tweetal het antwoord "slecht" niet voorkomt?
De directie wil de uitspraak van zo’n tweetal tot één uitspraak samenvoegen, waarbij uitsluitend de kwalificaties "goed" , "redelijk" en "slecht" worden gebruikt. Bedenk een manier om dit te doen en bereken dan de bijbehorende kansen.
Als `60` % van de gasten van dit hotel tot zo’n tweetal behoort en de uitspraken van zo’n tweetal worden op de door jou beschreven wijze tot één uitspraak verwerkt, hoe beïnvloedt dit dan het percentage van `10` dat "slecht" heeft geantwoord?
Bij een experiment heb je de beschikking over `5` vrouwelijke en `5` mannelijke proefpersonen. Je verdeelt ze willekeurig in twee groepen A en B van ieder vijf personen.
Hoe groot is de kans dat in groep A minstens `4` vrouwen terecht komen?
Bereken deze kans en benader hem daarna met een binomiaal kansmodel.
Welke van beide antwoorden op vraag a is de juiste? Is er veel verschil tussen beide? Verklaar je antwoord.
Bereken de groepomvang `n` van een groep met de helft vrouwen en de helft mannen die willekeurig verdeeld worden over twee groepen A en B die elk een omvang van `1/2 n` hebben en waarbij de kans dat groep A minstens `1/2 n - 1` vrouwen bevat tot op 3 decimalen nauwkeurig benaderd kan worden door een binomiaal kansmodel.
Champagne is speciale wijn met bubbeltjes. Deze bubbeltjes veroorzaken veel druk op de fles en op de kurk die de fles afsluit. Het is dus heel belangrijk dat de fles en de kurk goed op elkaar passen.
Een champagnehuis neemt de flessen af van een flessenfabrikant en de kurken van een kurkleverancier. Van de flessenfabrikant is bekend dat gemiddeld 3,4% van de flessen defect is door een te grote of te kleine flessenhals. Van de kurkleverancier is bekend dat 2,6% van de kurken defect is omdat ze te dik of te dun zijn. Alleen als zowel fles als kurk niet defect zijn, passen ze zodanig goed op elkaar dat de kurk de druk van de belletjes in de fles kan weerstaan.
De productievoorbereiders van het champagnehuis zetten kratten met `15` flessen en `15` kurken klaar ter verwerking. Het vulproces van de flessen gaat per `12` flessen tegelijk. Het champagnehuis organiseert per dag `6` van deze vulprocessen.
Hoeveel kratten verwacht je dat er nodig zijn op een dag? Met welke standaardafwijking?
Beargumenteer je antwoorden met berekeningen.
Champagne is speciale wijn met bubbeltjes. Deze bubbeltjes veroorzaken veel druk op de fles en op de kurk die de fles afsluit. Het is dus heel belangrijk dat de fles en de kurk goed op elkaar passen.
Een champagnehuis neemt de flessen af van een flessenfabrikant en de kurken van een kurkleverancier. Van de flessenfabrikant is bekend dat gemiddeld 3,4% van de flessen defect zijn door een te grote of te kleine flessenhals heeft. Van de kurkleverancier is bekend dat 2,6% van de kurken defect zijn omdat ze de dik of te dun zijn.
-----
Alleen als zowel fles als kurk niet defect zijn, dan passen ze zodanig goed op elkaar dat de kurk de druk van de belletjes in de fles kan weerstaan.
Wat is de kans dat een willekeurige fles van deze flessenfabrikant en een willekeurige kurk van deze kurkleverancier NIET op elkaar passen?
-----
De productievoorbereiders van het champagnehuis zetten kratten met `15` flessen en `15` kurken klaar ter verwerking. Het vulproces van de flessen gaat per `12` flessen tegelijk.
Wat is de kans dat `1` krat genoeg is voor `12` flessen?
----
????
Het champagnehuis heeft `6` kelderruimtes waarin flessen gevuld worden met `12` tegelijk.
OF
Het champagnehuis organiseert per dag `6` van deze vulprocessen.
????
Hoeveel kratten verwacht je dat er nodig zijn
voor de `6` kelderruimtes
OF
op een dag? Met welke standaardafwijking?
Wat is de kans dat een willekeurige fles van deze flessenfabrikant en een willekeurige kurk van deze kurkleverancier NIET op elkaar passen?