Afgeleide functies > Extremen berekenenVoorbeeld 3
Gegeven is de familie van functies `f_a(x)=x^3+ax` .
Voor elke waarde van `a` heb je hier met een andere functie te maken.
Je kunt hier een paar grafieken van deze familie van functies zien door
`a`
te variëren.
Probeer dit eens uit met
`f_5(x)=x^3+5x`
en
`f_(text(-)5)(x)=x^3-5x`
.
Sommige functies
`f_a`
hebben extremen,
andere niet.
Hoe hangt de `x` -coördinaat van de extremen van `f_a` af van de waarde van `a` ?
Je moet dus de `x` -waarden van de extremen berekenen op de bekende manier en daarna bekijken wat er gebeurt als `a` verandert:
`f_(a)'(x)=3 x^2+a`
`f'(x)=0` geeft `x=sqrt(text(-)a/3)` en `x=text(-)sqrt(text(-)a/3)`
Bekijk alle waarden van `a` .
-
Als `a>0` , zijn er geen nulpunten van de afgeleide, omdat de wortels geen reële waarden opleveren. `f_(a)(x)` heeft dan geen extremen.
-
Als `a=0` , is de afgeleide `f_0'(x)=3x^2` en dus voor elke waarde van `x` positief of `0` . `f_(a)(x)` heeft dan geen extremen.
Opmerking: de grafiek van `f_(a)(x)` heeft nu in het punt `(0,0)` een horizontale raaklijn. -
Als `a < 0` , is de grafiek van de afgeleide een dalparabool met twee nulpunten. `f_(a)(x)` heeft dan een maximum voor `x=text(-)sqrt(text(-) a/3)` en een minimum voor `x=sqrt(text(-)a/3)` .
Bekijk
Neem `a=1` en bereken de `x` -coördinaten van de extremen.
Bepaal de afgeleide van `f_a` .
Voor welke waarden van `a` heeft `f_a` extremen?
Gegeven is de functie `f_a(x)=ax^3-x` , met `a>0` .
Differentieer `f_a` .
Druk de waarde(n) van `x` waarvoor de raaklijn aan de grafiek van `f_a` horizontaal is uit in `a` .
Druk de extremen van `f_a` uit in `a` .
Voor welke waarde van `a` is de maximale waarde van `f_a` gelijk aan `1` ?