`f'(x)=3 x^2-3`

`f'(x)=3x^2-3 = 0` geeft `x=+-1` .

Maximum `f(text(-)1 )=2` en minimum `f(1 )=text(-)2` .

`f'(x)=3x^2=0` geeft `x=0` .

`f'(x)=0,3 x^2-120`

`f'(x)=0,3 x^2-120 =0` kun je noteren als `x^2=400` en hieruit volgt `x=text(-)20 vv x=20` .

Maak een tekenschema van `f'` , bedenk dat `f'` een dalparabool is.

Max. `f(text(-)20)=1600` en min. `f(20 )=text(-)1600` .

`100 x^2 = x^2(x-10)^2` geeft `x^2=0 vv (x-10)^2=100` en `x=0 vv x=20` .

De snijpunten zijn `(0, 0)` en `(20, 40000)` .

`g(x)=x^2(x^2-20x+100)= x^4-20x^3+100x^2` en `g'(x)=4 x^3-60 x^2+200 x` .

`g'(x)=4 x^3-60 x^2+200 x=0` geeft `x=0 vv x=5 vv x=10` .

GR of tekenschema `g'` : min. `g(0 )=0` , max. `g(5 )=625` en min. `g(10 )=0` .

`g(x)` heeft een maximum voor `x=5` .

`a*5^2=5^2 (5 -10 ) ^2` geeft `a=25` .

Vervang `100` door het getal `25` .

De oppervlakte van de bak bestaat uit opp(bodem) + `2*` opp(voorkant) `+2*` opp(zijkant).
Door invullen van breedte diepte en hoogte ontstaat de formule.

Voer in: Y1=6X+1000/3+2000/X en bepaal het minimum.

Dit geeft `d~~18,26` .

Er is een maximum voor `x=text(-)sqrt(2/3)` en een minimum voor `x=sqrt(2/3)` .

`f'_a(x)=3x^2-2a`

Als `a > 0` , dan zijn er twee nulpunten. De grafiek van de afgeleide is een dalparabool met twee nulpunten. `f_a` heeft een maximum voor `x=text(-)sqrt( (2a)/3)` en een minimum voor `x=sqrt((2a)/3)` .

`f'_a(x)=3 ax^2-1`

`x=text(-)sqrt(1/ (3 a) )` en `x=sqrt(1/ (3 a) )`

max. `f_a(text(-)sqrt(1/ (3 a) ))=2/3sqrt(1/ (3 a) )` en min. `f_a(sqrt(1/ (3 a) ))=text(-)2/3sqrt(1/ (3 a) )` .

`a=4/27`

`f(x)=4000-10x^2=0` geeft `x^2=400` en dus `x=text(-)20` en `x=20` .

`g(x)=(x-10 )(x^2-400 )=0` geeft `x=10 vv x^2=400` en dus `x=text(-)20` , `x=10` en `x=20` .

`f'(x)=text(-)20x=0` voor `x=0` . De grafiek van `f(x)` is een bergparabool, het maximum is `f(0)=4000` .

`g'(x)=3 x^2-20 x-400 =0` als `x= (20 ±sqrt(5200 )) /6` .

De extremen van `g` zijn: max. `g(text(-)8,69 )≈6064,60` en min. `g(15,35 )≈text(-)879,42` .

`f(x)=g(x)` geeft `4000-10x^2=(x-10)(x^2-400)` en `x^3-400x=x(x^2-400)=0` zodat `x=0vvx=+-20` .

GR: `x≤text(-)20 ∨0 ≤x≤20`

`f'(x)=4 x^3-2 ax=0` geeft `x(4x^2-2a)=0` en `x=0 vv 4x^2=2a` , zodat `x=0 ∨x=text(-)sqrt(0,5a) vv x=sqrt(0,5a)` .

Omdat `a ` onder de wortel staat, moet gelden `0,5a ge 0` . Dit betekent dat er alleen een minimum ongelijk aan `0` kan zijn als `a > 0` . Voor `a=0` is het minimum `0` .

Voer een voorbeeldgrafiek in met bijvoorbeeld `a =1` en kijk naar het verloop van de grafiek.

Het minimum is `f(sqrt(0,5a))= (sqrt(0,5a))^4-a*(sqrt(0,5a))^2=1/4a^2-1/2a^2=text(-)1/4a^2` . Het minimum is gelijk aan `text(-)1` als `text(-)1/4a^2=text(-)1` en dus als `a=2` ( `a=text(-)2` voldoet niet).

`f'(1)=4-2a` , het hellingsgetal is dus `4-2a` . De raaklijn is dan `y=(4-2a)x+b` .

`f(1 )=1 -a` , de raaklijn gaat door het punt `(1, 1-a)` .

Invullen in de vergelijking van de raaklijn levert: `1-a= (4-2a)*1+b` en `b= a-3` .

De raaklijn heeft vergelijking `y=(4 -2 a)x+a-3` . Aan deze vergelijking moet ook `(0 , 4 )` voldoen:

`4 =a-3` geeft `a=7` .

`f'(x)=3 x^2-12 px=0` geeft `x=0 ∨x=4 p` . Als `p != 0` heeft de grafiek van `f` twee extremen.

`f(4 p)=text(-)16,5`

Dus je moet de vergelijking `64 p^3-96p^3-16 =text(-)16,5` oplossen. Dit geeft `p=0,25` .

Een grafiek tekenen met de GR laat zien dat er sprake is van een minimum of lees uit het tekenoverzicht van `f'(x)` af dat voor `p=0,25` er een minimum optreedt.

Zie de antwoorden in het vervolg van deze opgave.

Voor de lengte van de sintelbaan: `2l+2πr=400` .

Voor de oppervlakte `A` van het sportveld: `A=l*2r`

Gegeven is `L=400=2l+2πr` , dus  `l=200-πr` .

Nu maak je een functie voor `A` , waarin alleen `r` als variabele voorkomt.

`l` substitueren in `A` geeft `A = (200-πr)*2r=400r-2πr^2` .

De grafiek van `A(r)` is een bergparabool. Het maximum zit bij het punt waarvoor geldt `A'(r)=0` . Voor die afgeleide functie geldt `A'(r)=400-4pi r` en `400-4pi r=0` , dus `r=400/(4pi)=100/(pi)~~31,8` m.

Dus voor de lengte van het sportveld geldt: `l=200-pir=200-pi*100/pi=100` m

Voor de breedte geldt: `b=2r=2*100/pi=200/pi~~63,6` m.

Zie de antwoorden in het vervolg van deze opgave.

Noem de inhoud en oppervlakte van het karton respectievelijk `I` en `A` . Dan is:

`I=x^2*h`
`A=2x^2+4xh`

`2 *8^2+4 *8 *21 =800` cm²

Dus `A=2x^2+4xh = 800` , zodat `h= (800 -2 x^2) / (4 x)` .

`I=x^2*h = x^2 * (800 -2 x^2) / (4 x) = 200 x-1/2x^3` .

De afgeleide is: `I'(x)=200-1 1/2x^2` .

En `I'(x)=0` geeft `x=+-sqrt(133 1/3)` .

Uit de schets van `I` blijkt dat `x` een maximum heeft bij `x=sqrt(133 1/3)~~11,547` cm. De waarde `x=text(-)sqrt(133 1/3)` vervalt, want `x>0` .

`h ≈ (800-2*11,547^2)/(4*11,547)≈11,547` cm.

De afmetingen zijn ongeveer `11,5` bij `11,5` bij `11,5` cm.

Voor de breedte en de lengte van het bakje geldt dan `b=l=20-2x` .

Dus voor de inhoud kun je de volgende formule opstellen: `I(x)=l*b*h=(20-2x)^2x=x(400-80x+4x^2)=4x^3-80x^2+400x` .

De zijde van het ingeknipte vierkantje kan niet negatief zijn en kan ook niet groter zijn dan `10` cm, want dan zou het karton volledig doorgeknipt worden. Dus: `0 < x < 10` cm.

`I'(x)=12 x^2 -160 x+400=0` geeft `x=10/3∨x=10` .

Max. `I(10/3)=16000/27≈593` cm³.

Uit de schets van `I` blijkt dat `x` daar inderdaad een maximum heeft.

`f'(x) = text(-)4x^3 + 6x^2 = 0` geeft `x = 0 ∨ x = 1,5` .
Min. `f(0) = 0` en max. `f(1,5) = 1,6875` .

`(text(d)y)/(text(d)x) = 3x^2 - 12x = 0` geeft `x = 0 ∨ x = 4` .
Max. `y(0) = 0` en min. `y(4) = text(-)32` .

Max. `f(0 )=2557` en min. `f(20 )=text(-)19197443` .

`f'(x)=20 x^4-160000 x=0` als `x=0 ∨x=20` .
Max. `f(0 )=2557` en min. `f(20 )=text(-)19197443` .

Twee, zie grafiek (die je nu goed in beeld kunt brengen).

`f'_a(x)=4x^3 - 4a = 0` geeft `x = root[3](a)` .

`a = 1 vv a = text(-)1` .