Oppervlakte en inhoud

Oppervlakte en inhoud > Inhoud

12345Inhoud

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Je vermenigvuldigt de oppervlakte van het grondvlak met de hoogte. De formule wordt dus $π r^{2} \cdot h$ .

De kegel heeft een inhoud die $\frac{1}{3}$ deel is van die van de cilinder, dus de inhoud van de kegel is $\frac{1}{3} π r^{2} h$ .

Voor de halve bol is $h = r$ en de inhoud is $2$ keer die van de kegel.
De inhoud van de halve bol is $\frac{2}{3} π r^{2} \cdot r = \frac{2}{3} π r^{3}$ .
De inhoud van een bol is $\frac{4}{3} π r^{3}$ .

Opgave 2

inh(cilinder) $= π \cdot 10^{2} \cdot 20 = 200 π$

opp(bol) $= \frac{4}{3} π \cdot 10^{3} = \frac{4000 π}{3}$

Opgave 3

De straal van de Aarde is $\frac{40000}{2 π} \approx 6366$ km.
De inhoud is daarom ongeveer ${6366,...}^{3} \cdot \frac{4}{3} π \approx 1,081 \cdot 10^{12}$ km².

Opgave 4

Je dompelt het onder in een rechthoekige (balkvormige) bak water en meet dat de vorm (dus lengte, breedte en hoogte) van de extra hoeveelheid water.
Zo maak je van een willekeurige vorm een balkvorm met dezelfde inhoud.

Opgave 5

inhoud $= 4 \cdot 4 \cdot 10 = 160$ cm³.

inhoud $= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{6^{2} - 3^{2}} \cdot 6 = 18 \sqrt{27}$ cm³.

inhoud $= π \cdot {0,9}^{2} \cdot 150 - π \cdot {0,7}^{2} \cdot 150 = 48 π$ cm³.

inhoud $= 55 \cdot 100 = 5500$ cm³.

inhoud $= \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sqrt{18} = 12 \sqrt{18}$ cm³

inhoud $= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt{24} = \sqrt{648} = 18 \sqrt{2}$ cm³.

inhoud $= \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2^{2} \cdot 10 = \frac{40}{3} π$ cm³.

Opgave 6

De gevraagde inhoud is $10 \cdot 10 \cdot 10 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 833 \frac{1}{3}$ cm³.

Opgave 7

In het voorvlak bereken je de opstaande ribben van de ontbrekende punt via $\frac{r}{r + 6} = \frac{2}{6}$ en dus $r = 3$ .
De hoogte van de complete piramide is dan $\sqrt{9^{2} - {(\sqrt{18})}^{2}} = \sqrt{63}$ .
De hoogte van de ontbrekende bovenste punt is $\sqrt{3^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{7}$ .
De gevraagde inhoud is $\frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sqrt{62} - \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} \approx 93,36$ cm³.

Opgave 8

De inhoud van het massieve lichaam is in het voorbeeld berekend. Op dezelfde manier bereken je de inhoud van de binnenruimte als het lichaam niet massief is:
$\frac{1}{3} π \cdot {9,8}^{2} \cdot 225 - \frac{1}{3} \cdot {5,8}^{2} \cdot 135 + 0,5 \cdot \frac{4}{3} π \cdot {5,8}^{2}$ .
Het holle amsterdammertje heeft nu een volume van ongeveer $18925 - 17944 = 981$ cm³.

Opgave 9

inhoud(halve kegel) $= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} π \cdot {1,5}^{2} \cdot 3 = 1,125 π$ .
inhoud(kwart bol) $= \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} π \cdot {1,5}^{3} = 1,125 π$ .
inhoud(diabolo) $= 2 \cdot (\frac{1}{3} π \cdot {1,5}^{2} \cdot 2,25 - \frac{1}{3} π \cdot {0,5}^{2} \cdot 0,75) = 3,25 π$ .

Opgave 10

Het volume onder dit schilddak hoort bij een lichaam dat bestaat uit een driehoekig prisma (op z'n kant) met aan weerszijden twee gelijke halve piramides (die je kunt samenvoegen tot één piramide). De inhoud wordt daarom: $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot 6 + \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 6 \cdot 5 = 200$ m³.

Opgave 11

Het grondvlak bestaat uit vijf gelijkbenige driehoeken met een tophoek van $72 °$ , een basis van $4$ cm, twee benen van $\frac{2}{sin (36 °)}$ en een hoogte van $\frac{2}{tan (36 °)}$ .
De oppervlakte van die vijfhoek is daarom $5 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{2}{tan (36 °)} \approx 27,53$ cm².
De hoogte van deze regelmatige vijfzijdige piramide is $\sqrt{4^{2} - {(\frac{2}{sin (36 °)})}^{2})} \approx 2,10$ cm.
De inhoud is daarom ongeveer $\frac{1}{3} \cdot 27,53 \cdot 2,10 \approx 19,3$ cm³.

Opgave 12

$\frac{1}{3} π \cdot 2^{2} \cdot 12 - \frac{1}{3} π \cdot {1,5}^{2} \cdot 9 + \frac{1}{3} π \cdot {1,5}^{2} \cdot 1 = 10 π$

Opgave 13

Zaag de buis (in gedachten) in de haakse bocht over de lasnaad door en maak hem recht, zie zijaanzicht hiernaast. De hoeveelheid staal wordt (aangenomen dat er in de grondplaat geen gat zit): $150 \cdot 150 \cdot 1 + π \cdot 25^{2} \cdot 650 - π \cdot 24^{2} \cdot 650 \approx 122560$ mm³.
Dat is $122,56$ cm³. Dus het geheel weegt $956$ gram.

Opgave 14

De inhoud is $= \frac{4}{3} π \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} π {(4 - \sqrt{4^{2} - 3^{2}})}^{2} \cdot (3 \cdot 4 - (4 - \sqrt{4^{2} - 3^{2}})) + π \cdot 3^{2} \cdot 3 \approx 337,8$ m³.

Opgave 15

inhoud(linker figuur) $= 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 6 \cdot 3 = 72$ cm³.
inhoud(middelste figuur) $= 6 \cdot 6 \cdot 6 - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 72$ cm³.
inhoud(rechter figuur) $= 2 \cdot (\frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4,5 - \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1, 5) = 104$ cm³.

Opgave 16

De inhoud is $\frac{1}{3} π \cdot 50^{2} \cdot 1000 - \frac{1}{3} π \cdot 40^{2} \cdot 800 \approx 1277581$ mm³ en dat is ongeveer $1,278$ liter.

Opgave 17

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} π \cdot 6^{3} + \frac{1}{2} π \cdot 6^{2} \cdot 8 = 288 π \approx 905$ m³.

verder | terug