Vierhoeken en cirkels

Vierhoeken en cirkels > Hoeken en cirkels

12345Hoeken en cirkels

Voorbeeld 4

Bekijk de applet.

De volgende stelling komt niet in de lijst van definities/stellingen in de Vlakke Meetkunde voor vwo wiskunde B voor. Hij moet worden bewezen door alleen gebruik te maken van wat op die lijst voorkomt.

Stelling:
"Bij twee snijdende koorden is het product van de twee stukken waarin de éne koorde de andere verdeelt voor beide koorden hetzelfde."

> antwoord

Gegeven:
Laat $A B$ en $C D$ twee koorden zijn van een cirkel met middelpunt $M$ die elkaar snijden in een punt $S$ dat binnen de cirkel ligt. Zie figuur.

Te bewijzen:
Je moet dan bewijzen dat $| A S | \cdot | B S | = | C S | \cdot | D S |$ .

Bewijs:
Omdat $∠ B A C$ en $∠ B D C$ allebei omtrekshoeken van koorde $B C$ zijn, met $A$ en $D$ aan dezelfde kant van $B C$ als $M$ is $∠ B A C = ∠ B D C$ (stelling van de constante hoek). Omdat ook $∠ A S C = ∠ D S B$ (overstaande hoeken) is $∆ A S C ≅ ∆ D S B$ . Daaruit volgt: $| A S | : | D S | = | C S | : | B S |$ en dus $| A S | \cdot | B S | = | C S | \cdot | D S |$ .
Q.e.d.

Opgave 10

In Voorbeeld 4 wordt wordt een stelling bewezen die niet op de lijst van definities/stellingen in de Vlakke Meetkunde voor vwo wiskunde B staat.

Probeer zelf dit bewijs te leveren zonder het antwoord erbij te hebben.

Bekijk het bewijs dat in het voorbeeld wordt geleverd. Er is verzuimd om te melden welk gelijkvormigheidskenmerk wordt gebruikt. Welk gelijkvormigheidskenmerk is dat?

Opgave 11

Op een cirkel liggen, in deze volgorde, de punten $A$ , $B$ , $C$ , $D$ en $P$ . Verder is $∠ A P B = ∠ C P D$ .
Bewijs dat $| A C | = | B D |$ .

verder | terug