Vierhoeken en cirkels

Vierhoeken en cirkels > Hoeken en cirkels

12345Hoeken en cirkels

Voorbeeld 2

Bekijk de applet.

Bewijs de stelling boog en koorde:

"In een cirkel horen gelijke bogen bij gelijke koorden."

Dit betekent: als cirkelbogen $A B$ en $C D$ gelijk zijn, dan zijn de bijbehorende koorden $A B$ en $C D$ gelijk en omgekeerd. Het zijn eigenlijk twee stellingen. (Bij een koorde horen steeds twee cirkelbogen, een grote en een kleine. Bij twee gelijke koorden zijn de kleine bogen aan elkaar gelijk en de grote bogen aan elkaar gelijk.)

> antwoord

Te bewijzen:
Als koorde $A B$ gelijk is aan koorde $C D$ , dan is cirkelboog $A B$ gelijk aan cirkelboog $C D$ en omgekeerd.

Bewijs:
Merk eerst op dat bij gelijke middelpuntshoeken gelijke cirkelbogen horen als beide bogen op dezelfde cirkel liggen.
Laat $M$ het middelpunt zijn, en $A B$ en $C D$ twee gelijke koorden. Ook geldt $| M A | = | M B | = | M C | = | M D |$ . Dus $∆ M A B$ is congruent met $∆ M C D$ (ZZZ). Dus $∠ A M B = ∠ C M D$ .
Omgekeerd als beide cirkelbogen gelijk zijn, dan is $∠ A M B = ∠ C M D$ . Weer is $| M A | = | M B | = | M C | = | M D |$ . Dus $∆ M A B$ is congruent met $∆ M C D$ (ZHZ). Dus $| A B | = | C D |$ .
Q.e.d.

Opgave 7

In Voorbeeld 2 wordt stelling bewezen dat bij gelijke bogen gelijke koorden horen en omgekeerd.

Welke twee stellingen worden er bewezen?

Bewijs de stelling: "Bij gelijke omtrekshoeken horen gelijke koorden en omgekeerd."

Opgave 8

Bereken in deze figuur alle voorkomende hoeken. Er geldt $A B = B C$ en $∠ C B D = 15 °$ .

verder | terug