Vierhoeken en cirkels

Vierhoeken en cirkels > Hoeken en cirkels

Overzicht

12345Hoeken en cirkels

Voorbeeld 1

Bekijk de applet: omgekeerde stelling van Thales

Bewijs de omgekeerde stelling van Thales:

"Als $∠ A C B$ in $∆ A B C$ recht is, dan ligt $C$ op de cirkel met middellijn $A B$ ."

> antwoord

Trek door $A$ een lijn evenwijdig aan $C B$ en door $B$ een lijn evenwijdig aan $C A$ . Die lijnen snijden elkaar in een punt $D$ en $A B C D$ is een parallellogram.
Nu is: $∠ C A B = ∠ D B A$ en $∠ C B A = ∠ D A B$ (Z-hoeken). Maar $∠ C A B + ∠ C B A = 90 °$ , dus ook $∠ C A B + ∠ D A B = 90 °$ . $A B C D$ is dus een rechthoek.
De diagonalen van een rechthoek zijn gelijk en delen elkaar middendoor.
Hun snijpunt is dus het midden $M$ van $A B$ en bovendien is $| C M | = | A M |$ . De afstanden van $A$ , $B$ , $C$ (en $D$ ) tot $M$ zijn gelijk, en $M$ is het middelpunt van een cirkel die door $A$ , $B$ en $C$ gaat en waarvan $A B$ een middellijn is.
Q.e.d.

Opgave 5

In Voorbeeld 1 wordt de omgekeerde stelling van Thales bewezen.

Waarom betekent deze stelling dat elke rechthoek een omgeschreven cirkel heeft?

Waarom betekent deze stelling dat de hoekpunten van de rechte hoeken van twee rechthoekige driehoeken met dezelfde schuine zijde op dezelfde cirkel liggen?

Opgave 6

Gegeven is $∆ A B C$ met de hoogtelijnen $A D$ en $B E$ . Bewijs dat de punten $A$ , $B$ , $D$ en $E$ op één cirkel liggen.

verder | terug