Vierhoeken en cirkels

Opgave 12

In een cirkel met middelpunt $M$ is $A B$ een koorde, maar geen middellijn. $P$ is een punt op de cirkel en $∠ A P B < 90 °$ . Bewijs dat $P$ aan dezelfde kant van $A B$ ligt als $M$ . (Geef een bewijs uit het ongerijmde; gebruik daarbij een middellijn door $A$ .)

Opgave 13

In een cirkel met middelpunt $M$ is $A B$ een koorde, maar geen middellijn. $P$ is een punt op de cirkel aan dezelfde kant van $A B$ als $M$ . Je gaat bewijzen dat $∠ A P B < 90 °$ .

a

Ga na: als $M$ in $∆ A B P$ ligt is $∠ A P B < 90 °$ (aanwijzing: trek de lijn door $A$ en $M$ ).

b

Als $M$ niet in $∆ A B P$ ligt is ook $∠ A P B < 90 °$ . Bewijs dat door het resultaat van a te gebruiken. En bewijs dat ook door de methode van a te gebruiken.

c

Vat nu je resultaten uit deze en de voorgaande opgave samen in één stelling. Neem daarin de stelling van Thales op als speciaal geval.

Opgave 14

Bij een koorde horen een middelpuntshoek en omtrekshoeken. Omgekeerd hoort bij een middelpuntshoek of een omtrekshoek een koorde, namelijk die tussen de snijpunten van de benen met de cirkel.

a

Bewijs: als twee middelpuntshoeken, elk kleiner dan $180 °$ , gelijk zijn, zijn hun koorden gelijk.

In het volgende mag je gebruiken: bij een omtrekshoek die kleiner dan $90 °$ is ligt het hoekpunt aan dezelfde kant van de koorde als het middelpunt.

b

Bewijs: als twee omtrekshoeken, elk kleiner dan $90 °$ , gelijk zijn, zijn hun koorden gelijk.

Opgave 15

Bewijs dat in de situatie van deze figuur geldt: $| D C | = | D E |$ .

Opgave 16

Door een punt $P$ buiten de cirkel $c$ worden twee halve lijnen getrokken. De éne snijdt $c$ eerst (vanaf $P$ gezien) in $A$ en dan in $B$ , de andere eerst in $C$ en dan in $D$ .

a

Bewijs dat uit $∆ P B D$ is gelijkbenig volgt dat $∆ P A C$ gelijkbenig is en omgekeerd.

b

Bewijs dat uit $| A B | = | C D |$ volgt dat $| A D | = | B C |$ en omgekeerd.

c

Bewijs dat uit $∆ P B D$ is gelijkbenig volgt $| A B | = | C D |$ en omgekeerd.

Verwerken