Vierhoeken en cirkels

Vierhoeken en cirkels > Hoeken en cirkels

Overzicht

12345Hoeken en cirkels

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Dan blijft die hoek hetzelfde. Dat is de stelling van de constante hoek.

Je krijgt nu de stelling van de omtrekshoek.

Bekijk eerst wat de stelling van Thales is.

Je kunt hem bewijzen door in te zien dat $∠ A C B = 90 °$ als $∠ A M B = 180 °$ .

Opgave 2

Omdat het wel moet gaan om een omtrekshoek en een middelpuntshoek die op dezelfde boog staan.

Doen.

Neem weer: $∠ A B M = ∠ B A M = α$ , $∠ A C M = ∠ C A M = β$ en $∠ A M C = γ$ en $∠ C B M = ∠ B C M = γ$ .
Dan is $∠ A C B = γ - β$ .
En verder is $∠ B M C = 180 ° - 2 γ$ en $∠ A M B + ∠ B M C + 2 β = 180 °$ . Hieruit volgt $∠ A M B = 2 γ - 2 β = 2 \cdot ∠ A C B$ .

Opgave 3

Je kunt er voor zorgen dat $M$ op $A B$ komt te liggen.

Als $M$ binnen $∆ A B C$ ligt, dan is $∠ A C B < 90 °$ . En als $M$ buiten $∆ A B C$ ligt, dan is $∠ A C B > 90 °$ .

Opgave 4

Een rechthoek bestaat uit twee rechthoekige driehoeken met een gezamenlijke hypothenusa. Voor elk van die rechthoekige driehoeken geldt de stelling van Thales.

Opgave 5

Elke rechthoek bestaat uit twee rechthoekige driehoeken met een gezamenlijke hypothenusa. Voor elk van die rechthoekige driehoeken geldt de stelling van Thales met hetzelfde middelpunt en dezelfde straal (de helft van de hypothenusa).

Voor elk van die rechthoekige driehoeken geldt de stelling van Thales met hetzelfde middelpunt en dezelfde straal (de helft van de hypothenusa).

Opgave 6

Bewijs:
Voor zowel $∆ A B D$ als $∆ A B E$ geldt de stelling van Thales. Dus zowel punt $D$ als punt $E$ ligt op de cirkel met middelpunt het midden $M$ van $A B$ en straal $M A$ .
Q.e.d.

Opgave 7

Als koorde $A B$ gelijk is aan koorde $C D$ , dan is cirkelboog $A B$ gelijk aan cirkelboog $C D$ .

En...

Als cirkelboog $A B$ gelijk is aan cirkelboog $C D$ , dan is koorde $A B$ gelijk aan koorde $C D$ .

Dit volgt uit het feit dat elke omtrekshoek de helft is van de bijbehorende middelpuntshoek. (omtrekshoek)

Opgave 8

$∠ B A C = ∠ A C B = 45 °$ , want $∠ A B C = 90 °$ . (Thales)
$∠ C A D = ∠ C B D = 15 °$ . (gelijke hoeken op gelijke koorde $C D$ )
$∠ A D M = ∠ C A D = 15 °$ . ( $∆ A M D$ is gelijkbenig)
$∠ A C D = 75 °$ . (in $∆ A C D$ geldt de stelling van Thales)
$∠ M D C = ∠ A C D = 75 °$ . ( $∆ C M D$ is gelijkbenig)
$∠ B D M = ∠ C A B = 45 °$ . (gelijke hoeken op gelijke koorde $B C$ )
$∠ C M D = 30 °$ . (middelpuntshoek bij omtrekshoek $∠ C A D = 15 °$ )

Opgave 9

Gegeven:
Cirkel met middelpunt $M$ en evenwijdige koorden $A B$ en $C D$ .

Te bewijzen:
De middelloodlijn van $A B$ valt samen met de middelloodlijn van $C D$ .

Bewijs:
De middelloodlijn van $A B$ gaat door $M$ en staat loodrecht op $A B$ . Omdat $A B / / C D$ staat deze middelloodlijn ook loodrecht op $C D$ . Omdat de middelloodlijn van $C D$ ook door $M$ gaat en loodrecht op $C D$ staat vallen beide lijnen samen.
Q.e.d.

Opgave 10

Doen.

hh.

Opgave 11

Maak zelf een figuur.

Bewijs:
Uit het gegeven volgt dat de bogen $B A$ en $D C$ gelijk zijn. (boog en koorde)
Dan is boog $B A$ + boog $C B$ = boog $D C$ + boog $C B$ .
Dus is boog $C B A$ = boog $D C B$ en dus is $C B A$ . Dit geeft $| A C | = | B D |$ . (boog en koorde) Q.e.d.

Opgave 12

Gegeven:
Zie opgave, maak een bijpassende figuur.

Te bewijzen:
$P$ en $M$ liggen aan dezelfde kant van $A B$ .

Bewijs:
Trek middelijn $A C$ door $M$ . Dan is $∠ A P C = 90 °$ . (Thales)
Stel $P$ en $M$ liggen aan verschillende kanten van $A B$ . Dan moet $B$ liggen tussen $P$ en $C$ op de cirkelomtrek. Maar dan is $∠ A P B > 90 °$ , want boog $A B$ is meer dan $180 °$ . (omtrekshoek) Dit levert een tegenspraak op.
Q.e.d.

Opgave 13

$A M$ snijdt de cirkel in punt $C$ . Dus $∠ A P B = 90 °$ . Trek ook de lijn $P P'$ door $M$ . Als $M$ in $∆ A B P$ ligt dan moet $B$ op de kleine boog $C P'$ liggen en dan is $∠ A P B < 90 °$ .

Als $M$ niet in $∆ A B P$ ligt, dan ligt $B$ op de kleine boog $P' A$ . Dus $∠ A P B < 90 °$ .

Als $A B$ een koorde is in een cirkel met middelpunt $M$ en punt $P$ ligt op de cirkel, dan is $∠ A P B < 90 °$ als $M$ en $P$ aan dezelfde kant van $A B$ liggen, $∠ A P B > 90 °$ als $M$ en $P$ aan dezelfde kant van $A B$ liggen

∠ A P B = 90 °

als

M

A B

ligt. En ook het omgekeerde van deze stelling is waar.

Opgave 14

Gegeven:
Een cirkel met middelpunt $M$ en twee koorden $A B$ en $C D$ waarbij geldt $∠ A M B = ∠ C M D < 180 °$ .

Te bewijzen:
$| A B | = | C D |$ .

Bewijs:
$| A M | = | C M |$ en $| B M | = | D M |$ en $∠ A M B = ∠ C M D < 180 °$ , dus $∆ A M B ≅ ∆ C M D$ . (ZHZ)
Q.e.d.

Gegeven:
Een cirkel met twee gelijke omtrekshoeken $∠ A P B = ∠ C Q D < 90 °$ .

Te bewijzen:
$| A B | = | C D |$ .

Bewijs:
Omdat beide gegeven hoeken kleiner dan $90 °$ zijn, liggen $P$ en $M$ aan dezelfde kant van $A B$ en $Q$ en $M$ aan dezelfde kant van $C D$ . Omdat $∠ A P B = ∠ C Q D$ is boog $A B$ even groot als boog $C D$ . En dus is $| A B | = | C D |$ . (boog en koorde)
Q.e.d.

Opgave 15

Bewijs:
Vierhoek $A B C D$ is een vlieger, dus is $∠ B A D = ∠ B C D$ . Verder is $∠ C E D = 180 ° - ∠ B A D = 180 ° - ∠ B C D$ en $∠ E C D = 180 ° - ∠ B C D$ , zodat $∠ C E D = ∠ E C D$ . Hieruit volgt $| D C | = | D E |$ . (boog en koorde)
Q.e.d.

Opgave 16

Teken de figuur.

Bewijs:
Uit $∆ P B D$ is gelijkbenig volgt $| P B | = | P D |$ en dus $∠ P B D = ∠ P D B$ . (gelijkbenige driehoek)
Dan is boog $A D$ = boog $B C$ en dus is boog $D A$ = boog $C B$ .
Dus $∠ B A C = ∠ A C D$ .
Hieruit volgt $∠ P A C = ∠ P C A$ .
Dan is $∆ P A C$ gelijkbenig.
Het omgekeerde kun je ook zo bewijzen. Q.e.d.

Bewijs:
$B C$ en $A D$ snijden elkaar in $S$ . Dan is $∠ B S A = ∠ C S D$ . Verder is $∠ B A D = ∠ B C D$ (boog en koorde) en $| A B | = | C D |$ . Dus is $∆ A B S ≅ ∆ C D S$ . (ZHH)
Dus $| A S | = | C S |$ en $| B S | = | D S |$ , dus $| A D | = | B C |$ .
Het omgekeerde kun je ook zo bewijzen. Q.e.d.

Bewijs:
Uit $∆ P B D$ is gelijkbenig volgt $∆ P A C$ is gelijkbenig. En daaruit volgt $| A B | = | C D |$ .
Nu het omgekeerde nog:
Uit $| A B | = | C D |$ volgt $∠ B D A = ∠ D B C$ . (boog en koorde)
Verder is $∠ A B C = ∠ A D C$ . (constante hoek)
Hieruit volgt $∠ P B D = ∠ P D B$ en dus is $∆ P B D$ gelijkbenig.
Q.e.d.

Opgave 17

Bewijs:
Uit het gegeven volgt: boog $A B$ = boog $C D$ . (boog en koorde)
Dan is boog $A B$ + boog $B C$ = boog $C D$ + boog $B C$ . Dus boog $A B C$ = boog $B C D$ , dus $| A C | = | B D |$ . (boog en koorde)
Q.e.d.

Opgave 18

Bewijs:
$∠ A C E = ∠ A D E$ . (constante hoek, ze staan op dezelfde boog)
$∠ A B C = ∠ D B E$ . (overstaande hoeken)
$| A B | = | A C |$ , dus $∆ A B C$ is gelijkbenig en daarom is $∠ A C B = ∠ A B C = ∠ D B E$ . En dus is $∠ B D E = ∠ A C B = ∠ D B E$ en daarom is $∆ B E D$ gelijkbenig en is $| B E | = | E D |$ .

Opgave 19

Gegeven:
$∆ A B C$ is rechthoekig in $B$ en $∆ A C D$ is rechthoekig in $B$ . (Maak beide driehoeken verschillend!)

Te bewijzen:
De vier punten $A$ , $B$ , $C$ en $D$ liggen op één cirkel.

Bewijs:
Volgens de omgekeerde stelling van Thales liggen de hoekpunten van $∆ A B C$ op een cirkel met middellijn $A C$ . Ditzelfde geldt voor $∆ A C D$ . Dus liggen de vier punten $A$ , $B$ , $C$ en $D$ liggen op deze cirkel.
Q.e.d.

verder | terug