Het snijpunt van de diagonalen.
Dit wordt het snijpunt van de drie zwaartelijnen. Ga na, dat dit `(3, 5)` is.
Zie de
Een zwaartelijn deelt een driehoek in twee even "zware" driehoeken, dat wil zeggen in twee driehoeken met dezelfde oppervlakte. Een zwaartelijn deelt daarvoor een zijde van de driehoek doormidden en gaat door het tegenoverliggende hoekpunt.
De verticale zwaartelijn gaat door hoekpunt
`(3, 7)`
en door het midden van de tegenoverliggende zijde
`(3, 4)`
. Een mogelijke vectorvoorstelling van de verticale zwaartelijn is:
`l_v: ((x),(y)) = ((3),(4)) + r((0),(3))`
De stijgende zwaartelijn gaat door hoekpunt
`(0, 4)`
en door het midden van de tegenoverliggende zijde
`(4 1/2, 5 1/2)`
. Een mogelijke vectorvoorstelling van de stijgende zwaartelijn is:
`l_s: ((x),(y)) = ((0),(4)) + s((4 1/2),(1 1/2))`
De dalende zwaartelijn gaat door hoekpunt
`(6, 4)`
en door het midden van de tegenoverliggende zijde
`(1 1/2, 5 1/2)`
. Een mogelijke vectorvoorstelling van de dalende zwaartelijn is:
`l_d: ((x),(y)) = ((1 1/2),(5 1/2)) + t((4 1/2),(text(-)1 1/2))`
Omdat de drie zwaartelijnen elkaar in één punt snijden heb je voor het berekenen van
het snijpunt maar twee van de drie zwaartelijnen nodig:
`{(3 ,=, 4 1/2 s),(4 + 3r ,=, 4 + 1 1/2 s):}`
Hieruit volgt
`s = 2/3`
en
`r = 1/3`
.
Het snijpunt is
`(3, 5)`
.
Stel vectorvoorstellingen op van twee zwaartelijnen en bereken hun snijpunt.
Het wordt pittig rekenwerk.
De hoekpunten zijn `A(0, 4)` , `B(6, 4)` en `C(3, 7)` .
Hiermee vind je het zwaartepunt van `Delta ABC` : `((0+6+3)/3, (4+4+7)/3) = (3, 5)` .
Het zwaartepunt van de rechthoek of het zwaartepunt van de driehoek.
Neem het zwaartepunt van de rechthoek als oorsprong.
Dan is: `vec(OZ) = 9/33 vec(v_1) + 24/33 vec(v_2) = 3/11 ((0),(3)) + 8/11 ((0),(0)) = ((0),(9/11))` .
Neem het zwaartepunt van de driehoek als oorsprong.
Dan is: `vec(OZ) = 9/33 vec(v_1) + 24/33 vec(v_2) = 3/11 ((0),(0)) + 8/11 ((0),(text(-)3)) = ((0),(text(-)2 2/11))` .
`vec(PQ)` moet loodrecht staan op `vec(OP)` en moet dezelfde lengte hebben.
De vector `((text(-)2),(t))` heeft duidelijk dezelfde lengte en staat loodrecht op `vec(OP)` , omdat `((text(-)2),(t))*((t),(2)) = 0` .
Bij richtingsvector `((1),(1))` hoort r.c. `a = 1` en dus `y = 1x + b` .
De lijn gaat door `(text(-)2, 2)` , dus `b = 4` .
Stel dat `P(t, 2)` , dan is `vec(OP) = ((t),(5))` en `vec(PQ) = ((text(-)5),(t))` .
`vec(OQ) = vec(OP) + vec(PQ) = ((t),(5)) + ((text(-)5),(t)) = ((t - 5),(5 + t))`
Dit betekent dat `Q` over de rechte lijn met parametervoorstelling `(x(t),y(t)) = (t - 5, t + 5)` beweegt. Een vergelijking van deze lijn is `y = x + 10` .
Omdat het zwaartepunt van figuur 1 nu `(0, 0)` is en dat maakt het rekenwerk eenvoudiger.
Doen, hopelijk krijg je hetzelfde als in het voorbeeld.
Verdeel de figuur in drie vierkanten en een driehoek. Breng een assenstelsel aan door bijvoorbeeld het midden van het linker vierkant.
Er geldt voor de vierkanten dat de coördinaten van de zwaartepunten zijn: `Z_(1) = (0, 0)` , `Z_(2) = (5 1/2, 1 1/2)` en `Z_(4) = (3 1/2, text(-)3 1/2)` .
De oppervlaktes zijn: `A_1 = 16` , `A_2 = 25` en `A_4 = 9` .
Een vectorvoorstelling van de zwaartelijn van de driehoek door punt
`B`
is
`((x),(y)) = ((2),(text(-)2))+t((1 1/2),(2))`
met
`0 le t le 1`
.
Neem
`t = 2/3`
voor
`Z_(3)`
en dit geeft
`Z_(3)(3, text(-)2/3)`
.
De oppervlakte van de driehoek is
`A_3 = 6`
.
De oppervlakte van de hele figuur is
`A_t = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = 56`
.
`vec(v_1), vec(v_2)`
,
` vec(v_3)`
en
`vec(v_4)`
zijn de vectoren naar de afzonderlijke zwaartepunten.
De vector naar het zwaartepunt
`Z`
van de hele figuur vind je met:
`vec(OZ) = 16/56 vec(v_1) + 25/56 vec(v_2) + 6/56 vec(v_3) + 9/56vec(v_4) = 16/56((0),(0))
+ 25/56((5 1/2),(1 1/2)) + 6/56((3),(text(-)2/3)) + 9/56 ((3 1/2),(text(-) 3 1/2))
= ((3 19/56),(1/28))`
De coördinaten van het zwaartepunt van deze figuur ten opzichte van het midden van
het linker vierkant zijn
`(3 19/56, 1/28)`
.
Uit `x = t` volgt `y = 3 + sqrt(x^2 +9)` .
Stel dat `P(t, text(-)1)` , dan is `vec(OP) = ((t),(text(-)1))` en `|vec(OP)| = sqrt(t^2 + 1)` .
Dit betekent dat `vec(PQ) = ((0),(sqrt(t^2 + 1)))` .
`vec(OQ) = vec(OP) + vec(PQ) = ((t),(sqrt(t^2 + 1) - 1))`
Een parametervoorstelling van de kromme is `(x(t), y(t)) = (t, sqrt(t^2 + 1) - 1)` .
Een vergelijking van de kromme is `y = sqrt(x^2 + 1) - 1` .
De vector `vec(OP) = ((3),(3))` ligt nu op lijn `l` .
`vec(PQ)` staat loodrecht op `l` en dus ook op `vec(OP)` en heeft dezelfde lengte als deze vector.
Dit betekent dat `vec(PQ) = ((text(-)3),(3))` . (De vector is naar links gericht.)
`vec(OQ) = vec(OP) + vec(PQ) = ((0),(6))`
De coördinaten van `Q` zijn `(0, 6)` .
De vector `vec(OP) = ((text(-)3),(text(-)3))` ligt op lijn `l` .
`vec(PQ)` staat loodrecht op `l` en dus ook op `vec(OP)` en heeft dezelfde lengte als deze vector.
Dit betekent dat `vec(PQ) = ((text(-)3),(3))` . (De vector is naar links gericht.)
`vec(OQ) = vec(OP) + vec(PQ) = ((text(-)6),(0))`
De coördinaten van `Q` zijn `(text(-)6, 0)` .
Stel dat `P(t, t)` , dan is `vec(OP) = ((t),(t))` .
`vec(PQ)` staat loodrecht `l` en dus ook op `vec(OP)` en heeft dezelfde lengte als deze vector.
`vec(PQ)` is naar links gericht. Er zijn nu twee situaties te onderscheiden:
`vec(PQ) = ((text(-)t),(t))`
als
`t ge 0`
Dit geeft
`vec(OQ) = vec(OP) + vec(PQ) = ((0),(t))`
.
`vec(PQ) = ((t),(text(-)t))`
als
`t le 0`
Dit geeft
`vec(OQ) = vec(OP) + vec(PQ) = ((t),(0))`
.
Dit betekent dat `Q` de positieve `y` -as en de negatieve `x` -as doorloopt.
Haakjes wegwerken geeft `f(t) = t^4 - 4t + 5` en dus `f'(t) = 4t^3 - 4` .
`f'(t) = 0` geeft `t=1` en deze waarde vul je in de afstandsformule in.
Een parametervoorstelling van de ellips is `(x(t), y(t)) = (4 cos(t), 2sin(t))` .
Neem `P(4 cos(t), 2sin(t))` , dan is `|vec(AP)| = sqrt((1 - 4cos(t))^2 + (1 - 2 sin(t))^2)` .
Hiervan bepaal je het minimum met behulp van je grafische rekenmachine. Je vindt ongeveer `t ~~ 1,28` met `text(d)(A,e) ~~ 0,93` .
`Z = ((text(-)2 + 2 + 5)/3, (2 + text(-)2 + 3)/3) = (1 2/3, 1)` .
Neem
`P`
op de kromme, dat is
`|vec(AP)| = sqrt((t^2)^2 + (2+t)^2)`
.
Bereken hiervan het minimum met de GR. Je vindt
`text(d)(A,l) ~~ 1,36`
.
`Z = ((0+b+a)/3, (a+0+b)/3) = (1/3 a + 1/3 b, 1/3 a + 1/3 b)`
`Z(1/3 b - 1/3 a, 1/3 a - 1/3 b)`
.
Er geldt
`1/3 a - 1/3 b = text(-)(1/3 b - 1/3 a)`
en hieruit volgt dat
`Z`
op de lijn
`y = text(-)x`
ligt.
Verdeel de figuur in een parallellogram en een driehoek. Breng een assenstelsel aan door bijvoorbeeld het midden van het parallellogram.
De coördinaten van het zwaartepunt van het parallellogram zijn
`Z_(1) = (0, 0)`
en de oppervlakte is
`A_1 = 20`
.
Een vectorvoorstelling van de zwaartelijn van de driehoek door punt
`C`
is
`((x),(y)) = ((2),(1/2)) + t((3),(0))`
met
`0 le t le 1`
.
Neem
`t = 1/3`
voor
`Z_(2)`
en dit geeft
`Z_(2)(3, 1/2)`
.
De oppervlakte van de driehoek is
`A_2 = 7 1/2`
.
De oppervlakte van de hele figuur is
`A_t = A_1 + A_2 = 27 1/2`
.
`vec(v_1)`
en
`vec(v_2)`
zijn de vectoren naar de afzonderlijke zwaartepunten.
De vector naar het zwaartepunt
`Z`
van de hele figuur vind je met:
`vec(OZ) = 20/(27 1/2) vec(v_1) + (7 1/2)/(27 1/2) vec(v_2) = 8/11 ((0),(0)) + 3/11
((3),(1/2)) = ((9/11),(3/22))`
De coördinaten van het zwaartepunt van deze figuur ten opzichte van het midden van
de parallellogram zijn
`(9/11, 3/22)`
.
Een normaalvector van `l` is `vec(n_1) = ((2),(text(-)8))` en van `m` is een normaalvector `vec(n_2) = ((text(-)1),(4))` .
Omdat `text(-)2*vec(n_2) = vec(n_1)` , is `n_2` ook een normaalvector van lijn `l` . Dit betekent dat de lijnen evenwijdig zijn.
Neem een willekeurig punt op lijn `l` (of `m` ), bijvoorbeeld `P(text(-)1/2, 0)` .
De afstand tussen `l` en `m` is de afstand tussen `P` en `m` .
Lijn door `P` en loodrecht `m` is `((x),(y)) = ((0),(1/2)) + t((text(-)1),(4))` .
Snijden met `m` : `text(-)x + 4y = t + 4(1/2 + 4t) = 10` geeft `t = 1,6` .
Snijpunt `S(text(-)1,6; 6,9)` .
`text(d)(l, m) = |vec(PS)| = sqrt((text(-)1,1)^2 + (6,9)^2) ~~ 7,0` .
`A(4, y)` en `l: 2x - 8y = text(-)1` .
Lijn door `A` en loodrecht `l` is `((x),(y)) = ((4),(y)) + t((1),(text(-)4))` .
Snijden met `l` : `2x - 8y = 2(4 + t) - 8(y - 4t) = text(-)1` geeft `t = (text(-)9+8y)/36` .
Snijpunt `T(3 3/4 + 1/9 y, 1 + 1/9 y)` .
`text(d)(A, l) = |vec(AT)| = sqrt((1/4 - 1/9 y)^2 + (1 + 8/9 y)^2) = 5` .
Dit geeft `y = 9/8 +- 5/8 sqrt(68)` .
Punt
`S`
ligt midden op zijde
`QR`
. Een vectorvoorstelling van lijnstuk
`PZ_p`
is:
`((x),(y)) = ((2),(5))+t((2),(text(-)4 ))`
met
`0 le t le 1`
`t = 1 1/2`
geeft
`S(5, text(-)1)`
.
De punten
`Q`
,
`R`
en
`S`
liggen op één horizontale lijn:
`y_Q = y_R = y_S = text(-)1`
Noem
`T`
het snijpunt van de hoogtelijn vanuit
`P`
in
`ΔPQR`
met lijn
`QR`
.
Uit
`text(Opp)_(ΔPQR) = 15`
en
`|PT| = 6`
volgt
`|QR| = 5`
.
Met punt
`S`
in het midden van punt
`Q`
en
`R`
vind je
`Q(2 1/2, text(-)1)`
.
Lijnstuk
`PS`
is de zwaartelijn van driehoek
`PQR`
en deelt de driehoek in twee driehoeken van gelijke oppervlakte:
`text(Opp)_(ΔPQS) = 7 1/2`
.
Noem
`U`
het snijpunt van de hoogtelijn vanuit
`Q`
in
`ΔPQS`
met zijde
`PS`
.
Uit
`|PS| = 3sqrt(5)`
en
`text(Opp)_(ΔPQS) = 7 1/2`
volgt
`|QU| = sqrt(5)`
.
`|PQ| = sqrt(|PU|^2 + |QU|^2) = sqrt(|PU|^2 + 5)`
De lengte van
`PQ`
is minimaal als
`|PU| = 0`
, dit is als
`P = U`
en
`|PQ| = sqrt(5)`
.
Hieruit volgt dat punt
`Q`
op de cirkel
`c_1`
ligt door punt
`P`
met straal
`sqrt(5)`
.
`c_1: (x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 5`
Punt
`Q`
ligt ook de lijn door punt
`P`
loodrecht op lijn
`PS`
.
`PQ: ((x),(y)) = ((2),(5)) + t((2),(1))`
Het snijpunt van deze cirkel en deze lijn geeft
`t = text(-)1 vv t = 1`
.
Punt
`Q`
ligt links van punt
`P`
.
`t = text(-)1`
geeft
`Q(0, 4)`
.
De totale massa van alle planeten en de zon bij elkaar is
`333446,619`
aardemassa's.
Het zwaartepunt bereken je als volgt:
`1/(333446,619)*(333000*0 + 0,055*0,4 + 0,815*0,7 + ... + 17,147*30,1) ~~ 0,01`
Het zwaartepunt van het zonnestelsel ligt
`0,01`
AE verwijderd van het massamiddelpunt van de zon.
Stel dat `P(t, text(-)1/2 t + 3)` .
`vec(OP) = ((t),(text(-)1/2 t + 3))`
`vec(PQ) = vec(OP') = (text(-)(text(-)1/2 t + 3),(p)) = ((1/2 t - 3),(t))`
`vec(OQ) = vec(OP) + vec(PQ) = ((1 1/2 t - 3),(1/2 t + 3))`
Een parametervoorstelling van lijn `m` is dus `(x(t), y(t)) = (1 1/2 t - 3, 1/2 t + 3)` .
Uit `x = 1 1/2 t - 3` volgt `t = 2/3 x + 2` , substitueer dit in de vergelijking voor `y(t)` :
`y = 1/2 (2/3 x + 2) + 3 = 1/3 x + 4`
(bron: pilotexamen vwo wiskunde B in 2017, eerste tijdvak)
`Z = (text(-)1/30, text(-)1/30)`
`vec(OZ_p) = 16/15 ((0),(0)) - 1/15 ((1/2),(1/2)) = ((text(-)1/30),(text(-)1/30))`
`DZ: ((x),(y)) = ((2 1/2),(2 1/2)) + t((1/2),(2 1/2))`
`C(4, 10)`
`text(Opp)(Delta ABC) = 27`
De kortste afstand is: `text(d)(A, p) = sqrt(3,75)` .