Als `a = 2` dan beweeg je het snelst als `t = 0 + k * 2pi` .
Als `a = 2` dan beweeg je het snelst als `t = pi + k * 2pi` .
Eigen antwoord, zie ook de
De functies en zijn geen sinusoïden.
`vec(v(t)) = ((x'(t)),(y'(t))) = ((text(-)4 sin(t)-4sin(2t)),(4cos(t)+4cos(2t)))`
`vec(v(0)) = ((x'(0)),(y'(0))) = ((0),(8))`
.
Controleer dit door in te stellen en dan te schuiven.
Met m/s.
`vec(v(1/2 pi)) = ((x'(1/2 pi)),(y'(1/2 pi))) = ((text(-)4),(text(-)4))`
.
Controleer dit door in te stellen en dan te schuiven.
De snelheid van punt op dit tijdstip is m/s.
Eigen antwoorden.
De snelheidsvector geeft de richting aan waarin wordt bewogen en is dus een richtingsvector. Een richtingsvector `vec(v)=((x'(t)),(y'(t)))` heeft een helling van en die helling is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn, dus .
`(text(d)y)/(text(d)x) = (y'(1/2 pi))/(x'(1/2 pi)) = (text(-)4)/(text(-)4) = 1` (zie de vorige opgave bij e).
is de richtingscoëfficiënt van deze raaklijn, die ook door gaat.
De vergelijking van deze raaklijn is dus .
Horizontale raaklijnen zitten in punten met . Alleen mag dan niet ook , want dan krijg je een onbestaanbare uitkomst voor de richtingscoëfficiënt.
geeft:
en dus
, zodat .
Hieruit volgt: .
Ga na, dat dit oplevert: en . Denk er om dat , dus vervalt.
De bijbehorende vergelijkingen zijn .
Verticale raaklijnen zitten in punten met . Alleen mag dan niet ook , want dan krijg je een onbestaanbare uitkomst voor de richtingscoëfficiënt.
geeft:
en dus
, zodat .
Hieruit volgt: .
Ga na, dat dit als uiterste punten oplevert: , en . Denk er weer om dat , dus vervalt.
De bijbehorende vergelijkingen zijn en .
In het punt `(6, 0)` en die snelheid is `8` m/s.
Dat is in het punt `(text(-)2, 0)` , dat wordt bereikt op `t = pi` s.
Niets anders dan dat die helling onbepaald is.
`((x''(t)),(y''(t))) = ((text(-)4cos(t) - 8cos(2t)), (text(-)4sin(t) - 8sin(2t)))`
`((x''(0)),(y''(0))) = ((text(-)12),(0))`
Voer `v(t) = sqrt((text(-)4sin(t) - 4sin(2t))^2 + (4cos(t) + 4cos(2t))^2)` als functie in.
Bepaal `v'(0)` met de GR. Je vindt dat de baanversnelling `0` m/s is.
De versnellingsvector is `((x''(1/2 pi)),(y''(1/2 pi))) = ((8), (text(-)12))` .
Bepaal de baanversnelling `v'(1/2 pi)` met de GR. Je vindt dat de baanversnelling ongeveer `text(-)2,83` m/s is.
Op
`t = 2`
is
`v = sqrt((x'(2))^2 + (y'(2))^2) ~~ sqrt((text(-)0,610)^2 + (text(-)4,280)^2) ~~ 4,32`
m/s.
Verder is de r.c. van de raaklijn
`(text(d)y)/(text(d)x) = (y'(2))/(x'(2)) ~~ 7,02`
en deze raaklijn gaat door
`P(text(-)2,97; 2,12)`
. De vergelijking ervan is daarom
`y = 7,02x + 22,97`
.
`text(-)5 le x le 5` en `text(-)5 le y le 5` .
De snelheidsvector is
`vec(v) = ((text(-)10 sin(2t)),(15 cos(3t)))`
.
De snelheid op
`t = 0`
is daarom
`v = sqrt((x'(0))^2 + (y'(0))^2) = sqrt(0^2 + 15^2) = 15`
.
De snelheid op
`t = 1/4 pi`
is daarom
`v = sqrt((x'(1/4 pi))^2 + (y'(1/4 pi))^2) = sqrt((text(-)10)^2 + (text(-)7,5 sqrt2)^2)
~~ 14,58`
.
Op
`t = 0`
is de r.c.
`(text(d)y)/(text(d)x) = (y'(0))/(x'(0))`
en die bestaat niet. De raaklijn is daarom verticaal. Omdat hij door
`(5, 0)`
gaat is de vergelijking
`x = 5`
.
Op
`t = 1/4 pi`
is de r.c.
`(text(d)y)/(text(d)x) = (y'(1/4 pi))/(x'(1/4 pi)) = (text(-)7,5 sqrt2)/(text(-)10)
= 3/4 sqrt2`
. Omdat de raaklijn door
`(0; 2,5sqrt2)`
gaat is de vergelijking
`y = 0,75x sqrt2 + 2,5sqrt2`
.
Vul `x = t` en `y = at + b` in de gegeven vergelijking in en je ziet dat er aan beide zijden voor elke waarde van `t` hetzelfde staat.
Ja, er zijn veel parametervoorstellingen mogelijk, bijvoorbeeld `x(t) = 2t` en `y(t) = 2at + b` of `y(t) = t` en `x(t) = (t - b)/a` (hoewel deze laatste alleen geldt als `a != 0` ).
`vec(v) = ((x'(t)),(y'(t))) = ((1),(a))` .
De snelheidsvector is
`vec(v) = ((x'(t)),(y'(t))) = ((r cos(t)),(text(-)r sin(t)))`
.
De snelheid is
`v = sqrt((r cos(t))^2 + (text(-)r sin(t))^2) = sqrt(r^2(cos^2(t) + sin^2(t))) = r`
.
Dus een punt dat gelijkmatig beweegt op een cirkel met een grotere straal heeft ook
een grotere snelheid.
Doen, vergelijk jouw antwoorden met het voorbeeld.
Raaklijn evenwijdig
`x`
-as:
`y'(t) = 0 ^^ x'(t) != 0`
.
Dit geeft
`15 cos(3t) = 0 ^^ text(-)10 sin(2t) != 0`
en dus
`t = 1/6 pi + k * 1/3 pi`
, behalve de punten waarin
`t = k * 1/2 pi`
. Hieruit vind je de punten
`(2,5; 5)`
en
`(2,5; text(-)5)`
.
Raaklijn evenwijdig
`y`
-as:
`x'(t) = 0 ^^ y'(t) != 0`
.
Dit geeft
`text(-)10 sin(2t) = 0 ^^ 15 cos(3t) != 0`
en dus
`t = k * 1/2 pi`
, behalve de punten waarin
`t = 1/6 pi + k * 1/3 pi`
. Hieruit vind je het punt
`(5, 0)`
.
In een keerpunt is:
`y'(t) = 0 ^^ x'(t) = 0`
.
Dit geeft
`15 cos(3t) = 0 ^^ text(-)10 sin(2t) = 0`
en dus
`t = 1/6 pi + k * 1/3 pi ^^ t = k * 1/2 pi`
. Hieruit vind je de punten
`(text(-)5; 5)`
en
`(text(-)5; text(-)5)`
.
De snelheid is maximaal wanneer
`t`
een veelvoud van
`2pi`
is. De coördinaten van
`P`
zijn in dat geval altijd hetzelfde. Neem bijvoorbeeld
`t = 0`
:
`P(x(0), y(0)) = (6, 0)`
De snelheid is minimaal wanneer
`cos(t) = text(-)1`
, ofwel wanneer
`t = pi+k*2pi`
.
Hier geldt:
`v(pi + k*2pi) = 4sqrt(2 - 2) = 0`
De snelheid is minimaal wanneer
`t = pi+k*2pi`
. De coördinaten van
`P`
zijn in dat geval altijd hetzelfde. Neem bijvoorbeeld
`t = pi`
:
`P(x(pi),y(pi)) = (text(-)2, 0)`
De baansnelheid wordt bepaald door de snelheidsvector
`vec(v) = ((x'(t)), (y'(t)))`
. Hier geldt:
`x'(t) = 4t`
en
`y'(t) = 3t^2 - 2`
De baansnelheid
`v`
op tijdstip
`t`
is de lengte van de snelheidsvector. Hiervoor geldt:
`v = sqrt(9t^4 + 4t^2 + 4)`
De minimale snelheid vind je met
`(text(d)v)/(text(d)t)`
. De kettingregel geeft:
`v'(t) = (36t^3 + 8t)/(2sqrt(9t^4 + 4t^2 + 4))`
Wanneer de snelheid minimaal is, geldt:
`v'(t) = 0`
.
Hiermee vind je de minimale snelheid:
`v(0) = sqrt(4) = 2`
`P(x(0),y(0)) = (text(-)1, 2)`
De snelheid op tijdstip `t` wordt gegeven door `v(t) = sqrt(9t^4 + 4t^2 + 4)` . De grafiek van deze functie is afnemend dalend links van `t = 0` en toenemend stijgend rechts daarvan. De grafiek heeft dus geen maximum.
Je kunt ook werken met de afgeleide: `v'(t) = 0` geeft alleen `t = 0` en daar zit een minimum.
`(x(t), y(t)) = (1/2 t^3 - t, t^2 - 1)` invullen in `y = 2x - 1` geeft `t^2 - 1 = t^3 - 2t -1` .
Hieruit volgt: `t^3 - t^2 - 2t = t(t-2)(t+1) = 0` en dus `t = 0 vv t = text(-)1 vv t = 2` .
Deze `t` -waarden invullen geeft dezelfde punten als in het voorbeeld.
In
`(1/2 , 0)`
heeft de raaklijn richtingsvector
`((1/2),(text(-)2))`
en de lijn heeft richtingsvector
`((1),(2))`
.
Inproduct: de hoek is
`~~40,60^@`
.
In
`(2 , 3)`
heeft de raaklijn richtingsvector
`((5),(4))`
en de lijn heeft richtingsvector
`((1),(2))`
.
Inproduct: de hoek is
`~~24,76^@`
.
Substitutie van de uitdrukkingen van
`x`
en
`y`
in de vergelijking van de parabool geeft:
`t^2 - 1 = text(-)1/2 (1/2 t^3 - t)^2 + 5`
.
Deze vergelijking kun je niet algebraïsch oplossen.
Voer in op de GR:
`y_1 = x^2 - 1`
en
`y_2 = text(-)1/2 (1/2 x^3 - x)^2 + 5`
.
Snijden:
`t = text(-)2`
en
`t = 2`
.
`P(x(text(-)2), y(text(-)2)) = (text(-)2, 3)` en `P(x(2), y(2)) = (2, 3)` .
Vanwege symmetrie zijn de hoeken in beide snijpunten hetzelfde.
Hier wordt de hoek in
`(2, 3)`
berekend. Deze correspondeert met
`t = 2`
.
De snelheidsvector van
`P`
is:
`vec(v) = ((3/2 t^2 - 1),(2t))`
.
De raaklijnvector aan de baan van
`P`
is
`((5),(4))`
.
De helling van de raaklijn aan de parabool in
`x = 2`
wordt gegeven door diens afgeleide:
`y' = text(-)x`
en dit geeft
`y'(2) = text(-)2`
.
De bijbehorende raaklijnvector is
`((1),(text(-)2))`
.
Inproduct geeft als hoek
`~~77,91^@`
.
De snelheidsvector is
`vec(v) = ((sin(t)),(2))`
.
De baansnelheid is dus
`v = sqrt(sin^2(t) + 4)`
.
Deze is op het interval
`[0, pi]`
maximaal als
`sin^2(t) = 1`
, ofwel als
`t = pi/2`
. De maximale snelheid is:
`v(pi/2) = sqrt(5)`
.
De snelheidsvector is:
`vec(v) = ((x'(t)),(y'(t))) = ((2),(text(-)2t))`
.
De snelheid is
`v(t) = sqrt(4 + 4t^2)`
en de versnelling is
`a(t) = v'(t) = (4t)/(sqrt(4 + 4t^2))`
.
De snelheid op
`t = 2`
is:
`v(2) = sqrt(20) = 2sqrt(5)`
.
De versnelling op
`t = 2`
is:
`a(2) = 8/(sqrt(20)) = 4/(sqrt(5))`
.
De snelheidsvector is:
`vec(v) = ((x'(t)),(y'(t))) = ((3t^2 - 2),(2t + 4))`
.
De snelheid is
`v(t) = sqrt((3t^2 - 2)^2 + (2t + 4)^2)`
.
De snelheid op
`t = 1`
is:
`v(1) = sqrt(37)`
.
De versnelling op
`t = 1`
is:
`a(1) = v'(1) ~~ 2,96`
(met de GR).
De snelheidsvector is:
`vec(v) = ((x'(t)),(y'(t))) = ((4cos(2t)),(text(-)3sin(t) + 1))`
.
De snelheid is
`v(t) = sqrt((4cos(2t))^2 + (text(-)3sin(t) + 1)^2)`
.
De snelheid op
`t = 0`
is:
`v(0) = sqrt(17)`
.
De versnelling op
`t = 0`
is:
`a(0) = v'(0) ~~ text(-)0,73`
(met de GR).
Er geldt: , en .
beweegt het snelst als het de oorsprong passeert. Dat gebeurt als . Dus als , zodat .
De snelheidsvector is
`((x'(t)),(y'(t)))=((text(-)8sin(2t)cos(t)−4cos(2t)sin(t)),(text(-)8sin(2t)sin(t)+4cos(2t)cos(t)))`
.
De snelheid is dan . Die snelheid is voor alle andere waarden van hetzelfde.
In heb je te maken met twee verschillende richtingscoëfficiënten, namelijk:
voor een r.c. van ;
voor een r.c. van ;
En daarom staan beide bewegingsrichtingen loodrecht op elkaar.
`x'(t) = 0 ^^ y'(t) != 0`
geeft
`6cos(2t) = 0 ^^ 3cos(t) != 0`
.
Dit levert op
`t = 1/4pi+k * 1/2 pi ^^ t != 1/2pi+k * pi`
.
Hieruit volgen de punten
`(text(-)3, 3/2sqrt(2))`
,
`(text(-)3, text(-)3/2sqrt(2))`
,
`(3, 3/2sqrt(2))`
en
`(3, text(-)3/2sqrt(2))`
.
In de keerpunten is `x'(t) = 0 ^^ y'(t) = 0` . Dit geeft `t = 1/4 pi + k * 1/2 pi ^^ t = 1/2 pi + k*pi` . Er zijn geen tijdstippen die hieraan voldoen, dus er zijn geen keerpunten.
`x'(t) = 0 ^^ y'(t) = 0` geeft `1 - cos(2t) = 0 ^^ 2 sin(2t) = 0` en dus `t = k * pi` . Dit geeft de punten `(0, 0)` , `(pi, 0)` en `(2pi, 0)` .
`y'(t) = 0 ^^ x'(t) != 0`
geeft
`2 sin(2t) = 0 ^^ 1 - cos(2t) != 0`
, dus
`t = 1/2 pi + k * pi`
.
Hierbij vind je de punten
`(1/2 pi, 4)`
en
`(1 1/2 pi, 4)`
.
Evenwijdig aan de
`x`
-as:
`y'(t) = 0 ^^ x'(t) != 0`
geeft:
`4 cos(t) + 2 cos(2t) = 0 ^^ 6 cos(t) - 2 sin(2t) != 0`
.
Dit levert op:
`4 cos^2(t) + 4 cos(t) - 2 = 0`
zodat
`cos(t) = text(-)1/2 + 1/2 sqrt3`
en
`t ~~ 1,196 vv t ~~ 5,087`
.
Dit geeft de punten
`(4,9; 4,4)`
en
`(text(-)6,3; text(-)4,4)`
.
Merk op dat
`cos(t)=text(-)1/2-1/2 sqrt(3)`
geen oplossingen heeft.
Evenwijdig aan de
`y`
-as:
`x'(t) = 0 ^^ y'(t) != 0`
geeft:
`6 cos(t) - 2 sin(2t) = 0 ^^ 4 cos(t) + 2 cos(2t) != 0`
.
Dit levert op:
`2 cos(t)(3 - 2 sin(t)) = 0`
waaruit volgt
`cos(t) = 0`
en
`t = 1/2 pi vv t = 1 1/2 pi`
.
Dit geeft de punten
`(5, 4)`
en
`(text(-)7, text(-)4)`
.
Voer de kromme in je GR in. Venster: `[text(-)7, 5] xx [text(-5), 5]` .
Bekijk de kromme op de GR. Het punt
`(1, 0)`
wordt twee keer doorlopen.
Dat gebeurt als
`y = 4 sin(t) + sin(2t) = 0`
. Dit is het geval als
`sin(t)(4 + 2 cos(t)) = 0`
. Dit geeft
`t = 0 vv t = pi`
.
De bijbehorende hellingswaarden zijn
`(text(d)y)/(text(d)x) = 1`
en
`(text(d)y)/(text(d)x) = 1/3`
.
De bijbehorende raaklijnen zijn
`y = x - 1`
en
`y = 1/3 x - 1/3`
.
Voer in op de GR:
`y_1 = 6sin(x) + cos(2x)`
en
`y_2 = 4sin(x) + sin(2x)`
.
Venster bijvoorbeeld:
`[0, 2pi]xx[text(-)6, 6]`
.
Snijden geeft:
`t ~~ 3,37`
en
`t ~~ 5,63`
.
De richtingsvector van lijn
`l`
is
`((1),(1))`
.
De raaklijnen aan
`k`
in de snijpunten hebben richtingsvectoren
`((x'(3,37)),(y'(3,37)))`
en
`((x'(5,63)),(y'(5,63)))`
.
Inproduct bij
`t~~3,37`
geeft
`~~27,7^@`
.
Inproduct bij
`t~~5,63`
geeft
`~~16,2^@`
.
In dit geval moet de afstand van elk punt
`P(x(t), y(t))`
van
`k_0`
tot
`M(0, 1)`
gelijk zijn aan
`1`
.
`sqrt(x^2 + (y - 1)^2) = 1`
ofwel
`(2 sin(t)cos(t))^2 + (2 sin^2(t) - 1)^2 = 1`
.
Omdat
`2 sin(t)cos(t) = sin(2t)`
en
`1 - 2 sin^2(t) = cos(2t)`
kun je die uitdrukking schrijven als
`(sin(2t))^2 + (cos(2t))^2 = 1`
en dat is waar voor elke waarde van
`t`
.
Voor
`a=0`
is de kromme inderdaad een cirkel.
`k_1`
heeft parametervoorstelling
`(x, y) = ((1 + 2sin(t))cos(t), (1 + 2 sin(t))sin(t))`
.
Er moet gelden dat
`x=0`
, zodat:
`(1 + 2 sin(t))cos(t) = 0`
`sin(t) = text(-)1/2 vv cos(t) = 0`
`t = 1 1/6pi + k * 2pi vv t = 1 5/6 pi + k * 2pi vv x = 1/2 pi + k * pi`
.
Dit geeft de punten
`(0, 0)`
,
`(0, 1)`
en
`(0, 3)`
.
Er moet gelden:
`x'(0) = 0 ^^ y'(0) = 0`
.
`x'(t) = 2cos^2(t) - (2 + 2sin(t))sin(t)`
`y'(t) = 2cos(t)sin(t) + (2 + 2sin(t))cos(t)`
`2cos(t)sin(t) + (2 + 2sin(t))cos(t) = 0`
`2cos(t)(2sin(t) + 1) = 0`
`cos(t) = 0 vv sin(t) = text(-)1/2`
`t = 1/2 pi + k*pi vv t = 7/6 pi + k*2pi vv t = 11/6 pi + k*2pi`
Alleen bij
`t = 1 1/2 pi + k*2pi`
is
`x'(t)`
ook
`0`
.
Dit geeft het keerpunt
`O(0, 0)`
.
Er moet gelden:
` y'(t) = 0 ^^ x'(t) ne 0`
.
`x'(t) = 2cos^2(t) - (a + 2sin(t))sin(t)`
`y'(t) = 2cos(t)sin(t) + (a + 2sin(t))cos(t)`
`2cos(t)sin(t) + (a + 2sin(t))cos(t) = 0`
`cos(t)(4sin(t) + a) = 0`
`cos(t) = 0 vv sin(t) = (text(-)a)/4`
`t = 1/2 pi + k*2pi vv sin(t) = (text(-)a)/4`
Als
`t = 1/2 pi vv t = 1 1/2 pi`
dan
`y'(t) = 0`
en
`x'(t) ne 0`
. Dit geeft twee punten met een horizontale raaklijn.
Als
`a gt 4`
, dan heeft de vergelijking
`sin(t) = (text(-)a)/4`
geen oplossing. Dit betekent dat in dit geval er twee punten zijn met een horizontale
raaklijn.
`text(-)5 le x(t) le 5` en `text(-)5 le y(t) le 5` .
Neem als venster bijvoorbeeld
`[text(-)5, 5]xx[text(-)5, 5]`
.
Het is een Lissajousfiguur omdat zowel
`x(t)`
als
`y(t)`
sinusoïden zijn.
Raaklijn evenwijdig met de `x` -as: `(2,5; 5)` en `(text(-)2,5; text(-)5)` .
Raaklijn evenwijdig met de `y` -as: geen punten.
De twee keerpunten zijn `(text(-)5, 5)` en `(5, text(-)5)` .
De raaklijn is `y = 3x` .
De hoek op
`t = text(-)1`
is ongeveer
`60,26^@`
.
De hoek op
`t = 2 1/2`
is ongeveer
`32,47^@`
.