De straal staat loodrecht op de raaklijn aan de cirkel. Dit volgt uit de symmetrie van de figuur.
Zie de
`r^2 = 3^2 + 4^2 = 25` en dus vind je `x^2 +y^2 = 25` als vergelijking van de cirkel.
`vec(OP) = ((3),(4))`
Dat is natuurlijk dezelfde vector: `vec(OP) = ((3),(4))` .
De normaalvector is
`vec(OP) = ((3),(4))`
, dus
`3x + 4y = c`
.
Vul hierin
`P(3, 4)`
in. Dit geeft
`c = 25`
. Dus de vergelijking van de raaklijn in
`P`
aan de cirkel is
`3x + 4y = 25`
.
Maak een schets van de situatie.
Dit kan alleen maar een verticale raaklijn zijn bij `x = 5` . Dit is dus ook meteen de vergelijking van de raaklijn.
Het middelpunt van cirkel `c` is `M(1, 2)` en de straal `vec(MP)` is normaalvector van de raaklijn.
`vec(MP) = ((3),(1))` .
`3x + y = c` door `P(4, 3)` geeft `3x + y = 15` .
`P(7, 5)` ligt niet op de cirkel `c: x^2 + y^2 = 25` .
De lijn heeft een plaatsvector `vec(OP) = ((7),(5))` en een richtingsvector `((1),(a))` waarin `a` de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is. Dus is `((x),(y)) = ((7),(5)) + t*((1),(a))` een mogelijke vectorvoorstelling. Hieruit volgt meteen de parametervoorstelling.
Je substitueert `x = 7+t` en `y = 5 + at` in de vergelijking van de cirkel. Dit geeft een kwadratische vergelijking in `t` waarvan de discriminant `0` moet zijn.
Substitueer `x = 7 + t` en `y = 5 + at` in `x^2 + y^2 = 25` . Dit geeft `(7+t)^2 + (5+at)^2 = 25` .
De bedoeling is nu om `a` uit te rekenen. Aangezien het een raaklijn is, heeft deze één punt gemeenschappelijk met de cirkel. Dus `D = 0` .
`49 + 14t + t^2 + 25 + 10at + a^2t^2 = 25` geeft `(1+a^2)t^2 + (14+10a)t + 49 = 0` .
Dus `D = (14+10a)^2 - 4*(1+a^2)*49 = 0` levert op `a = 35/12 ∨ a = 0` .
De raaklijnen zijn dan `y = 5` en `y = 35/12 x - 185/12` .
De raaklijn door `P` heeft een onbekende richtingscoëfficiënt die je `a` kunt noemen.
Substitueer `x = 3+t` en `y = 5+at` in `(x-1)^2 + (y-2)^2 = 13` .
Dit levert `(3+t-1)^2 + (5+at-2)^2 = 13` , dus `(2+t)^2 + (3+at)^2 = 13` .
Hieruit volgt `(1+a^2)t^2 + (4+6a)t = 0` .
Omdat `D = 0` geldt `(4+6a)^2 - 4*(1+a^2)*0 = 0` en dus `4 + 6a = 0` met `a = text(-)2/3` .
Het inproduct van de r.v. van de raaklijn `((1),(text(-)2/3))` en `vec(MP) = ((2),(3))` is `0` .
Ga eerst na, dat
`P`
op deze cirkel ligt. Het middelpunt van de cirkel is
`M(3, 6)`
.
`vec(MP) = ((2),(4))`
, dus de vergelijking van de raaklijn is
`2x + 4y = c`
.
De raaklijn gaat door
`P`
, dus de vergelijking wordt
`2x + 4y = 50`
.
Met de afstand van een punt
`O(0, 0)`
tot een lijn wordt kortste afstand bedoeld, ofwel de loodrechte afstand.
Nu staat
`OP`
loodrecht op de raaklijn, want
`OP`
gaat door
`M`
en
`P`
is een raakpunt.
De stelling van Pythagoras levert dus de gevraagde afstand:
`sqrt(10^2 + 5^2) = sqrt(125) = 5sqrt(5)`
.
Zie het voorbeeld.
Deze raaklijnen hebben als vergelijking `y = 3x + b` . Vul dit in de cirkelvergelijking in en stel weer de discriminant gelijk aan `0` . Je vindt dan `b = text(-)2 vv b = text(-)22` . De raaklijnen zijn `y = 3x - 2` en `y = 3x - 22` .
Bijvoorbeeld `((1),(3))` .
Een veelvoud van `((text(-)3),(1))` en van `((3),(text(-)1))` . Merk op dat deze vectoren beide een lengte hebben die gelijk is aan de straal van de cirkel, dus je hoeft er geen veelvoud van de bepalen.
`P_1(4 - 3, 0 + 1) = P_1(1, 1)` en `P_2(4 + 3, 0 - 1) = P_2(7, text(-)1)` .
Je weet de richtingscoëfficiënt en het raakpunt.
Dus `y = 3x+b` door `P_1(1, 1)` en door `P_2(7, text(-)1)` .
Door `P_1(1, 1)` levert `1 = 3*1 + b` en dus `b = text(-)2` .
Door `P_2(7, text(-)1)` levert `text(-)1 = 3*7 + b` en dus `b = text(-)22` .
De raaklijnen zijn dus `y = 3x - 2` en `y = 3x - 22` .
Gebruik bijvoorbeeld de discriminantmethode met `y = text(-)4x + b` . Een vergelijking van de cirkel is `(x-4)^2 + (y-2)^2 = 17` . Substitutie van `y = text(-)4x + b` levert op `(x-2)^2 + (text(-)4x+b-2)^2 = 17` .
Met `D = 0` vind je dan `b = 1 ∨ b = 35` .
Je vindt `y = text(-)4x + 1` en `y = text(-)4x + 35` .
Ook hier kun je werken met de discriminantmethode, bijvoorbeeld met de parametervoorstelling `(x, y) = (13 + t, 4 + at)` . Je vindt dan `a = text(-)0,25 vv a = 0,8125` . Dit geeft de vergelijkingen `y = text(-)0,25x + 7,25` en `y = 0,8125x - 6,5625` .
Dit kan meetkundig als je er gebruik van maakt dat bij
`Q`
een rechte hoek zit:
`PQ _|_ OQ`
. Met de stelling van Pythagoras vind je dan
`|PQ| = a sqrt(3)`
.
Je kunt ook eerst de vergelijkingen van de beide raaklijnen opstellen met de discriminantmethode.
Je vindt
`y = sqrt(3) * x - 2a sqrt(3)`
en
`y = text(-)sqrt(3) * x + 2a sqrt(3)`
. Dan kun je beide raakpunten berekenen:
`(1/2 a, +- 1/2 a sqrt(3))`
. En dan kun je
`|PQ|`
berekenen.
Zie bij a hoe je de twee raaklijnen en de raakpunten berekent.
Raaklijn
`PQ`
heeft b.v. als r.v.
`((1),(text(-)sqrt(3)))`
.
Dan is
`vec(OQ) = ((1/2 a),(1/2 a sqrt(3)))`
. Het inproduct van deze twee vectoren is
`0`
.
Er zijn meerdere methoden om dit te doen: je kunt van beide cirkels vergelijkingen maken en dan dit stelsel oplossen. Je kunt ook de parametervoorstelling van `c_1` invullen in de vergelijking van `c_2` .
Bijvoorbeeld
`c_1: x^2 + y^2 = 25`
en
`c_2: x^2 + y^2 - 24x - 18y + 125 = 0`
.
Substitutie geeft
`25 - 24x - 18y + 125 = 0`
. Dus is
`4x + 3y = 25`
een vergelijking van een lijn door het raakpunt.
Substitutie van
`4x + 3y = 25`
in bijvoorbeeld
`x^2 + y^2 = 25`
levert
`x = 4`
en
`y = 3`
.
Dus
`P(4, 3)`
is inderdaad het raakpunt.
`c_2: x^2 + y^2 - 24x - 18y + 125 = 0` herleid je tot `(x-12)^2 + (y-9)^2 = 100` . Dus `M(12, 9)` en `r = 10` .
Dan geldt
`vec(MP) = ((4),(3))`
. De raaklijn wordt
`4x + 3y = c`
en gaat door
`P(4, 3)`
.
Dus
`c = 25`
en de raaklijn is
`4x + 3y = 25`
.
Breng de cirkels in beeld en je ziet dat `P(text(-)2,text(-)2)` een gemeenschappelijk punt is.
In `c_1: (text(-)2)^2 + text(-)2)^2 = 8` dus `P` ligt op `c_1` .
In `c_2:(text(-)2-4)^2 + (text(-)2-4)^2 = 72` dus `P` ligt op `c_2` .
Aangezien `P` op beide cirkels ligt is dit een raakpunt.
`c_2: x^2 - 8x + 16 + y^2 - 8y + 16 = 72`
geeft
`x^2 + y^2 - 8x - 8y = 40`
.
Substitutie van
`c_1`
geeft
`text(-)8x - 8y = 32`
en dus
`x + y = text(-4)`
.
De cirkel moet raken aan
`c_1`
en
`c_2`
.
`P(text(-)2, text(-)2)`
is het raakpunt van
`c_1`
en
`c_2`
en
`Q`
is het raakpunt van
`c_2`
en
`c_3`
.
`P(text(-)2, text(-)2)`
en middelpunt
`M`
van
`c_2`
is
`(4, 4)`
en dus
`Q(10, 10)`
.
`R`
is het snijpunt van
`c_1`
en
`c_3`
.
Omdat de straal van
`c_1`
gelijk is aan
`sqrt(8)`
geldt
`R(2, 2)`
.
`c_3`
heeft dus
`r = sqrt(32)`
en middelpunt
`N(6, 6)`
.
De vergelijking van `c_3` is `(x - 6)^2 + (y - 6)^2 = 32` .
`vec(OA) = ((3),(5))` en dit is de normaalvector van de raaklijn in `A` . De raaklijn heeft dus de vorm `3x + 5y = c` en gaat door `(3, 5)` Dus geldt `3x + 5y = 34` voor de raaklijn.
Stel eerst een parametervoorstelling van een lijn op door `P` : `((x),(y)) = ((2),(8)) + t((1),(a))` . En dus geldt `x = 2 + t` en `y = 8 + at` . Substitutie hiervan in `x^2 + y^2 = 34` geeft `(2+t)^2 + (8+at)^2 = 34` . Gebruik nu de discriminant methode om de mogelijke aarden van `a` uit te rekenen. Dit geeft `a = 3/5 vv a = text(-)5/3` .
Dit geeft de vergelijkingen van de raaklijnen in `P` aan `c` : `3x - 5y = text(-)34` en `5x + 3y = 34` . De gevraagde hoek is `90^@` , want `((5),(3))*((text(-)3),(5)) = 0` .
Eerst de punten
`Q`
en
`R`
bepalen:
`Q(0; 6,8)`
en
`R(4,25; 4,25)`
.
De oppervlakte is (vanwege de rechte hoek bij
`P`
):
`1/2 * |PQ| * |PR| = 5,1`
.
Gebruik de discriminantmethode met
`y = 3x + b`
en
`c: (x - 10)^2 + y^2 = 40`
.
Je vindt dan
`b = text(-)10 vv b = text(-)50`
.
De gevraagde parametervoorstellingen zijn `l: (x, y) = (t, text(-)10 + 3t)` en `m: (x, y) = (t, text(-)50 + 3t)` .
Het middelpunt `M` van die cirkel is het snijpunt van de loodlijn door `A` op `l` en middelloodlijn van lijnstuk `AB` . De lijn door `A` en loodrecht op `l` is `a: text(-)2x + y = 10` . De lijn door `B` evenwijdig met `l` is `b: x - y = 2` . De lijnen `a` en `b` snijden geeft het middelpunt van de cirkel `M(4 2/3, 2 2/3)` . De voorlopige vergelijking van de cirkel is dan `c: (x - 4 2/3)^2 + (y - 2 2/3)^2 = k` . Door `A(2, 4)` geeft `k = 80/9` .
De gevraagde vergelijking is `c: (x - 4 2/3)^2 + (y - 2 2/3)^2 = 80/9` .
Dit kan door met behulp van de discriminantmethode de vergelijking van `l` op te stellen. De parametervoorstelling voor lijn `l` kan zijn `((x),(y)) = ((8),(0)) + t((1),(a))` en dus `x = 8 + t` en `y = at` . Substitueer dit in de cirkelvergelijking en je vindt `l: 4x + 3y = 32` . Deze lijn snijden met de `y` -as geeft `S(0, 10 2/3)` .
Je kunt ook gebruik maken van het raakpunt `Q` en de gelijkvormigheid van de driehoeken `OPS` en `QMS` (een gemeenschappelijke hoek en allebei rechthoekig). Daarmee kun je `|OS|` berekenen en zo de coördinaten van `S` berekenen.
`R`
is een snijpunt van cirkel
`c`
en de cirkel
`x^2 + y^2 = 36`
.
Uit
`c`
volgt
`x^2 = text(-)(y-4)^2 + 16`
en er geldt ook
`x^2 = text(-)y^2 + 36`
.
Dus `text(-)(y-4)^2 + 16 = text(-)y^2 + 36` zodat `y = 4 1/2` .
De twee mogelijke punten zijn `R(+- 1/2 sqrt(63), 4 1/2)` .
`c_1` heeft vergelijking `x^2 + (y-4)^2 = 16` .
Van `c_2` weet je `(x-a)^2 + (y-2)^2 = 4` . Je moet dus `a` berekenen. Noem het raakpunt `R` en omdat beide cirkels elkaar raken liggen de punten `M_1` , `R` en `M_2` op een rechte lijn. Dus geldt `|M_1M_2| = |M_1R| + |M_2R| = 4 + 2 = 6` .
Het punt dat je zoekt is dan het snijpunt van de cirkel met `M_1` als middelpunt en straal `6` met de lijn `y = 2` .
Dus het stelsel `x^2 + (y-4)^2 = 36` en `y = 2` oplossen. Dit geeft `x^2 + (text(-)2)^2 = 36` en dit geeft `x=+-sqrt(32)` . Dus `M_2 (4sqrt(2), 2)` of `M_2 (text(-)4sqrt(2), 2)` .
Bereken eerst de coördinaten van
`Q`
:
`x^2 + (y-4)^2 = 16`
en
`(x-sqrt(32))^2 + (y-2)^2 = 2`
.
`Q`
is het enige snijpunt van beide cirkels in het eerste kwadrant dus
`Q(8/3 sqrt(2), 2 2/3)`
.
De raaklijn in `Q` aan beide cirkels staat loodrecht op `vec(M_1 M_2) = ((4sqrt(2)),(text(-)2))` .
De vergelijking van die raaklijn is `8/3sqrt(2) * x - 1 1/3 y = 10 2/3` .
De derde raaklijn snijdt de `x` -as in een punt `P` dat op lijn `M_1 M_2` ligt. Uit `M_1 M_2` : `y = text(-)1/4 sqrt(2) x + 4` volgt `P = (8sqrt(2), 0)` . Nu kun je vergelijkingen opstellen van lijnen door `P` die raken aan bijvoorbeeld `c_1` met behulp van de discriminantmethode.
Je kunt ook het raakpunt `R` met `c_1` berekenen door gebruik te maken van het feit dat `R` het snijpunt is van `c_1` en een cirkel met middelpunt `P` en straal `8sqrt(2)` . Dit geeft `R(16/9 sqrt(2), 64/9)` .
In beide gevallen vind je `64/9 x + 56/9 sqrt(2) y = 512/9 sqrt(2)` als derde raaklijn.
`p = sqrt((a + b)^2 - (a - b)^2) = sqrt(4ab) = 2sqrt(ab)` .
`M(4, 3)`
en
`Q(1, 4)`
en gebruik de stelling van Pythagoras.
`|QM| = sqrt((4-1)^2 + (4-3)^2) = sqrt(10)`
.
Gebruik het gegeven dat de raaklijn aan een cirkel loodrecht staat op de straal naar het raakpunt. Dus `ΔQAM` is rechthoekig. Dan volgt ook `|QA| = sqrt(10-5) = sqrt(5)` . Dus `|QA| = |QB| = sqrt(5)` .
Het middelpunt van `c_2` is `Q(1, 4)` . De cirkelvergelijking is dan in eerste instantie `(x-1)^2+(y-4)^2 = k^2` . `c_2` . De straal van deze cirkel is `|QA| = sqrt(5)` , en dus volgt `(x-1)^2 + (y-4)^2 = 5` .
Er geldt
`c: (x-4)^2 + (y-3)^2 = 5`
en
`(x-1)^2 + (y-4)^2 = 5`
.
Er geldt:
`c: x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 5`
en
`c_2: x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = 5`
.
Dus
`text(-)8x + 16 - 6y + 9 = text(-)2x + 1 - 8y + 16`
en dit herleid je tot lijn
`l: 3x - y = 4`
.
Dit is een lijn door de snijpunten van de twee cirkels.
Snijd
`l`
nu met
`c`
of
`c_2`
en je vindt de gevraagde snijpunten
`A(2, 2)`
en
`B(3, 5)`
.
`vec(QA) = ((1),(text(-)2))`
dus de eerste raaklijn is
`x - 2y = k`
door
`Q(1, 4)`
geeft
`1 - 2*4 = text(-)7`
.
Dus de eerste raaklijn door
`Q`
is
`x - 2y = text(-)7`
ofwel
`y = 0,5x + 3,5`
.
`vec(QB) = ((2),(1))`
dus de tweede raaklijn is
`2x + y = m`
door
`Q(1, 4)`
geeft
`2*1 + 4 = 6`
.
Dus de tweede raaklijn door
`Q`
is
`2x+y = 6`
ofwel
`y = text(-)2x + 6`
.
`2x + 4y = 0` .
`y = 2x + 10` en `y = 2x - 10` .
`sqrt(40)`
`r = (1,6)/(0,6 + sqrt(5))`