Lineair programmeren > Stelsels
12345Stelsels

Uitleg

In een klein theater zijn twee soorten zitplaatsen: zaal en balkon. Voor een bepaalde voorstelling kost een zaalplaats € 12,50 en een balkonplaats € 15,00. Er worden die avond `82` kaarten verkocht met een totale opbrengst van € 1080,00. Hoeveel mensen hadden een balkonplaats?

Om dit probleem op te lossen werk je met formules. Kies eerst variabelen, bijvoorbeeld `z` is het aantal zaalplaatsen en `b` is het aantal balkonplaatsen.
Dan geldt:

  • `z + b = 82`

  • `12,5z + 15b = 1080`

Dit is een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden. Het zoeken van de waarden van `z` en `b` die aan beide vergelijkingen voldoen kan op drie manieren.

  • Noteer beide vergelijkingen in de vorm `z = ...` (of `b = ...` ) en bekijk de grafieken met de grafische rekenmachine. Het snijpunt van beide grafieken geeft de gewenste waarden van `z` en `b` .

  • Werk één van beide variabelen weg door substitutie (vervanging). Noteer bijvoorbeeld de bovenste vergelijking als `b = 82 - z` en vul deze in de onderste vergelijking in. Dit geeft:
    `12,5z + 15(82 - z) = 1080`
    Het wegwerken van de haakjes levert een lineaire vergelijking op die je kunt oplossen. Als `z` bekend is, kun je `b` berekenen met `b = 82 - z` .

  • Een derde manier is de balansmethode.
    Maak van `{(z + b = 82),(12{:,:}5z + 15b = 1080):}` het stelsel `{(15z + 15b = 1230),(12{:,:}5z + 15b = 1080):}`
    door alle termen in de bovenste vergelijking met `15` te vermenigvuldigen. Trek vervolgens de uitdrukkingen links van het isgelijkteken van elkaar af en trek ook de getallen rechts van het isgelijkteken van elkaar af.
    Dit geeft `2,5z = 150` en hieruit volgt `z = 60` . Bereken nu `b` .

Opgave 1

Bekijk de Uitleg 1.

a

Los het stelsel vergelijkingen op door beide vergelijkingen in de vorm `z = ...` te noteren.

b

Los het stelsel vergelijkingen op door de eerste vergelijking te herleiden tot `z` is uitgedrukt in `b` en dit in de andere vergelijking te substitueren.

c

Bekijk in de uitleg de derde oplossingsmethode.
Hoe kom je aan de waarde van `b` ?

Opgave 2

Los het stelsel op met behulp van substitutie.

a

`{(3x - 7y = 30),(4x + y = text(-)10):}`

Los het stelsel op met behulp van de balansmethode.

b

`{(6x + 4y = 12),(2x + 3y = text(-)16):}`

verder | terug