Goniometrie

Goniometrie > Totaalbeeld

123456Totaalbeeld

Toepassen

Je hebt nu geleerd om sinus, cosinus en tangens te gebruiken om lengten van zijden en hoeken uit te rekenen. Je moest daarbij steeds op zoek naar rechte hoeken, rechthoekige driehoeken.

Het is echter mogelijk om formules af te leiden die het zoeken naar rechthoekige driehoeken overbodig maken. Deze regels zijn de sinusregel en de cosinusregel. Je gaat daarbij uit van een driehoek $A B C$ zoals je die hiernaast ziet. Let goed op de keuze van de letters voor de hoeken en de lengtes van de zijden.

De sinusregel luidt: $\frac{a}{sin (α)} = \frac{b}{sin (β)} = \frac{c}{sin (γ)}$ .

De cosinusregel luidt: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos (α)$ .

In de volgende opgaven ga je deze regels afleiden en toepassen.

Opgave 16De sinusregel

De sinusregel

Teken zelf een driehoek zoals je die in Toepassen ziet. Zorg er voor dat hij drie scherpe hoeken heeft en zet bij de hoekpunten, de hoeken en de zijden op eenzelfde manier de letters.

Teken hoogtelijn $C D$ . Laat zien, dat $C D = b \cdot sin (α)$ en ook $C D = a \cdot sin (β)$ .

Uit wat je bij a hebt gevonden volgt: $\frac{a}{sin (α)} = \frac{b}{sin (β)}$ .

Hoe kom je nu aan de rest van de sinusregel?

Neem aan dat in jouw driehoek $α = 70 °$ , $β = 50 °$ en $a = 5$ . Bereken $b$ met behulp van de sinusregel.

Teken een driehoek $A B C$ met $α = 70 °$ , $a = 5$ en $b = 4$ .

Bereken in de driehoek die je bij c hebt getekend hoek $β$ met behulp van de sinusregel. Controleer je antwoord door nameten.

Opgave 17De sinusregel toepassen

De sinusregel toepassen

Gegeven is $∆ A B C$ door $α = 40 °$ , $a = 4$ en $b = 6$ cm.

Teken de twee mogelijke driehoeken die hieraan voldoen.

Bereken in de driehoek die je bij a hebt getekend hoek $β$ met behulp van de sinusregel. Laat zien dat er inderdaad twee mogelijkheden zijn.

Gegeven is $∆ A B C$ door $a = 4$ , $b = 6$ en $c = 7$ cm.

Teken deze driehoek.

Laat zien, dat je in de driehoek bij c de hoeken niet met behulp van de sinusregel kunt berekenen. Waarom kan dit wel met de cosinusregel?

Opgave 18De cosinusregel

De cosinusregel

Het vinden van de cosinusregel is wat lastiger dan het vinden van de sinusregel. Teken eerst maar een driehoek $A B C$ zoals je die bij Toepassen ziet staan.

Teken hoogtelijn $C D$ en laat zien dat $a^{2} = C D^{2} + {(c - A D)}^{2}$ .

Werk in de bij a gevonden uitdrukking de haakjes uit en maak gebruik van $A D = b \cdot cos (α)$ en van $C D^{2} + A D^{2} = b^{2}$ . Leid hiermee de cosinusregel af.

Gegeven is $∆ A B C$ door $a = 4$ , $b = 6$ en $c = 7$ cm.

Bereken de hoeken van deze driehoek.

verder | terug