Kies verschillende getallen voor
`r`
, dus bekijk de grafieken van
`y=x`
,
`y=x^2`
,
`y=x^3`
,
`y=x^4`
, etc.
Bij
`y=x^2`
,
`y=x^4`
,
`y=x^6`
, ..., is er een minimum van
`0`
.
Als `r` een oneven positief getal is. Voorbeelden: `y=x^3` , `y=x^5` , etc.
Neem voor `r` een negatief oneven getal.
Omdat
`x^(text(-)n) = 1/(x^n)`
.
Je hebt daarom met breuken te maken en dan mag je niet door
`0`
delen.
Bovendien wordt
`y = 1/(x^n)`
heel erg klein (dicht bij
`0`
als
`n rarr +-oo`
.
De asymptoten zijn de twee coördinaatassen.
Bij
`r=1/2`
mag je alleen positieve waarden en
`0`
voor
`x`
toelaten.
Bij
`r=1/3`
kan
`x`
alle waarden hebben.
Er zit een knik bij `O(0, 0 )` .
Bij e zag je dat alle waarden van `x` toelaten alleen kan als `r` een breuk met een oneven noemer is en niet bij breuken met een even noemer. Het gemakkelijkst is dan het nooit toelaten van negatieve `x` waarden bij niet gehele decimale getallen. Dat is dan een afspraak.
Transformaties:
vermenigvuldiging in de `y` -richting met `0,5`
verschuiving in de `x` -richting met `3`
verschuiving in de `y` -richting met `1`
Minimum `f(3)=1` .
Nee, deze functie heeft geen uiterste waarden.
Voor `r = 2` en voor `r=4` .
`r=0` : de grafiek is de lijn `y=1` .
`r=1` : de grafiek is de lijn `y=x` .
Verticale asymptoot
`x=2`
.
Horizontale asymptoot
`y=4`
.
`y=x^(text(-)1)`
Verticale asymptoot
`x=0`
.
Horizontale asymptoot
`y=0`
.
`g(x) = text(-)2*(x+1)^(text(-)2) + 3` .
Verticale asymptoot
`x=text(-)1`
.
Horizontale asymptoot
`y=3`
.
`text(D)_f = [2, rarr rangle` en `text(B)_f = [4, rarr rangle` .
`y=x^(1/2)`
`text(D)_f = [0, rarr rangle` en `text(B)_f = [0, rarr rangle` .
`g(x) = text(-)2*(x+1)^(text(-)0,5) + 3` .
Verticale asymptoot
`x = text(-)1`
.
Horizontale asymptoot
`y=3`
.
`text(D)_f = langle text(-)1, rarr rangle` en `text(B)_f = langle 3, rarr rangle` .
Alleen vermenigvuldiging in de `y` -richting met `2,01` .
`text(D)_T = [0, rarr rangle` en `text(B)_T = [0, rarr rangle` .
`l^(1/2)` wordt tot de macht `2 = 2/1` gedaan om `l` te krijgen: `(l^(1/2))^2 = l` .
Nee, want als je in de formule
`l`
door
`2l`
vervangt, krijg je
`T ~~ 2,01*(2l)^(1/2) ~~ 2,84*l^(1/2)`
.
Dus
`T`
wordt dan slechts
`sqrt(2)=2^(1/2)~~1,41`
keer zo groot.
Getallen invullen: `F = 9,8 * (10*15)/(r^2) = 1470*r^(text(-)2)` .
Omdat `r` een afstand is moet `r ge 0` . Alleen `r=0` kan niet omdat je door `r` deelt in deze functie.
`text(D)_F = langle 0, rarr rangle` en `text(B)_F = langle 0, rarr rangle` .
`F(r) = 1470*r^(text(-)2) = 294` geeft `r^(text(-)2) = 0,2` en dus `r = 0,2^(text(-)1/2)~~2,24` .
Grafiek: `0 lt r le 2,2` m.
Eerst `text(-)1` in de `x` -richting schuiven, daarna met `3` vermenigvuldigen in de `y` -richting, tenslotte `text(-)5` eenheden in de `y` -richting schuiven.
`f(x)=10`
geeft
`(x+1) ^4=5`
en dus
`x+1 = +-root4 (5 )`
zodat
`x=text(-)1 +-root[4] (5 )`
.
Grafiek:
`f(x) lt 10`
als
`text(-)1 -root[4] (5 ) lt x < text(-)1 + root[4] (5 )`
.
`x^2 = x^(1/2)` .
kwadrateren geeft: `x^4 = x` .
Herleiden op `0` : `x^4 - x = 0` geeft `x(x^3 - 1) = 0` en `x = 0 vv x = 1` .
Grafieken: `0 lt x lt 1` .
`x^4=1/81=1/3^4` geeft `x=1/3vvx=text(-)1/3` .
`x^3 = 1/27 = 1/(3^3)` .
`x = 1/3` .
Grafiek: `x gt 1/3 vv x lt 0` .
`x^3 = 1/30` geeft `x = root[3](1/30)` .
Grafiek: `x lt 0 ∨ x gt root[3](1/30)` .
Herleiden op `0` : `x^5 - x^4 = 0` geeft `x^4(x - 1) = 0` en `x = 0 vv x = 1` .
Grafiek: `x lt 0 ∨ 0 lt x lt 1` .
Herleiden op `0` : `x^6 - x^4 = 0` geeft `x^4(x^2 - 1) = 0` en `x = 0 vv x = 1 vv x = text(-)1` .
Grafiek: `text(-)1 lt x lt 0 ∨0 lt x lt 1` .
`x=0` en `y=0`
Eerst `1` naar links schuiven, dan met `2` vermenigvuldigen in de `y` -richting, tenslotte `4` eenheden omlaag schuiven.
`x=text(-)1` en `y=text(-)4`
`text(D)_f=〈←, text(-)1 〉 uu 〈text(-)1 ,→〉` en `text(B)_f=〈text(-)4 ,→〉`
`f(x)=10`
geeft
`(x+1) ^(text(-)2)=7`
en dus
`x=text(-)1 -7^(text(-)1/2) ∨x=text(-)1 +7^ (text(-)1/2)`
.
`f(x) lt 10`
als
`x lt text(-)1 -7^ (text(-)1/2) ∨ x gt text(-)1 +7^ (text(-)1/2)`
.
Je vindt `Z=0,70*m^(0,75)` . Dit is dezelfde formule.
`Z≈124,5` L.
`text(D)= [0, →〉`
`text(B)= [0, →〉`
Er is een minimum van `0` voor `x = 0` .
Er is geen asymptoot.
`2x^(1/4)` | `=` | `10` | |
`x^(1/4)` | `=` | `5` | |
`x` | `=` | `625` |
Lees uit de grafiek af: `0 le x le 625`
`a=500 p^(text(-)1)`
`p_2=2p_1` , dan `a_2=500/(2p_1)=250/p_1` .
Conclusie: Bij verdubbeling van de prijs wordt `a` gehalveerd.
Denk erom: een getallenvoorbeeld is nooit voldoende.
Als `a=300` , dan `p=500/300≈ 1,67` . Formule: `p=500/a` .
Als
`p= 0,01`
, dan
`a=50000`
en als
`p=100`
, dan
`a=5`
.
Dit zijn waarden voor
`a`
die ver uitstijgen of onder de
`100`
tot
`1000`
kg van de verkoop per dag. Dus deze prijzen zijn onbruikbaar. Als
`a=100`
is
`p=5`
en als
`a=1000`
is
`p = 0,5`
. Dus
`0,50 ≤ p ≤5`
.
Je kunt de functie schrijven als: `f(x)=3 * (x-1 ) ^ (text(-)1/2) +5`
Eerst `1` naar rechts schuiven, dan met `3` vermenigvuldigen in de `y` -richting en tenslotte `5` omhoog schuiven.
`text(D)_f=⟨1 ,→⟩` en `text(B)_f=⟨5 ,→⟩` .
`3/ (sqrt(x-1 )) +5 =10` geeft: `3/ (sqrt(x-1 )) =5` en `sqrt(x-1 )=0,6` , zodat `x-1=0,36` , waaruit volgt dat `x=1,36` .
Grafiek: `f(x)≤10` als `x≥1,36` .
`f(x)=text(-)5 +2 (x-3 ) ^ (1/2)` en `g(x)=x^ (1/2)` .
Eerst `3` eenheden naar rechts schuiven, dan met `2` vermenigvuldigen t.o.v. `x` -as, tenslotte `5` eenheden omlaag schuiven.
`text(D)_(g) =[0 ,→⟩` en `text(B)_(g) =[0 ,→⟩` .
`text(D)_(f) =[3 ,→⟩` en `text(B)_(f) =[text(-)5 ,→⟩` .
`text(-)5 +2 (x-3 ) ^ (1/2) =100` geeft `(x-3 ) ^ (1/2) =52,5` en dus `x-3=( 52,5)^2=2756,25` , waaruit volgt dat `x=2759,25` .
`f(x)≥100` voor `x≥2759,25` .
`f(x)=100 (x-10 ) ^(text(-)2) + 25` ontstaat uit `y=x^(text(-)2)` door:
`10` eenheden naar rechts schuiven, met `100` vermenigvuldigen in de `y` -richting en `25` omhoog schuiven.
Verticale asymptoot `x=10` en horizontale asymptoot `y=25` .
`text(D)_f=⟨←,10 ⟩ uu ⟨10 ,→⟩` en `text(B)_f=⟨25 ,→⟩`
`f(x)=50`
geeft
`(x-10 ) ^2=4`
en
`x=8 ∨x=12`
.
Grafiek:
`f(x)≤50`
voor
`x≤8 ∨x≥12`
.
`H = 0,007184*75^(0,425)*180^(0,725) ~~ 1,94` m2.
`H ~~ 0,310*M^(0,425)`
Van
`H ~~ 1,94`
m2 naar
`H ~~ 0,310*80^(0,425)~~ 2,00`
m2.
Dat is een toename van
`(0,06)/(1,94)*100 ~~ 3,1`
%.
`H = 0,007184*(L^3)^(0,425)*L^(0,725) = 0,007184*L^(3*0,425+0,725) = 0,007184*L^2` .
Aannames:
De windkracht is een variabele die voor de hele luchtstroom langs de wieken dezelfde waarde heeft.
Voor het vermogen geldt `P = c * m * v^2` , een natuurkundige formule.
De luchtdichtheid is een constante.
`1/4 pi D^2`
is de oppervlakte van een cirkel met een straal van
`r = 1/2D`
.
`P = c * m * v^2 = c * 1/4 pi D^2 * v * rho * v^2 = C * v^3 * D^2`
met
`C=c*1/4pi*rho`
Het vermogen meten bij bepaalde waarden van de windsnelheid en rotordiameter.
`P=0,0013*v^3*20^2 = 0,52v^3` .
`P= 0,52*10^3 = 520` kW.
`0,52v^3 = 300` geeft `v^3 ~~ 577` en dus `v~~8,3` m/s.
Minimaal `0,52*3^3 = 14,04` kW en maximaal `4160` kW.
Dat wordt `2^3 = 8` keer zo groot (rekening houdend met de maximale windsnelheid).
Dat wordt `2^2 = 4` keer zo groot (rekening houdend met de maximale windsnelheid).
`a` : `text(D)_a=ℝ` en `text(B)_a=ℝ` , stijgend voor elke `x` .
`b` : `text(D)_b=ℝ` en `text(B)_b=[0 ,→⟩` , stijgend voor `x lt 0` en dalend voor `x gt 0` , minimum `a(0)=0` .
`c` : `text(D)_c=⟨←,0 ⟩∪⟨0 ,→⟩` en `text(B)_c=⟨←,0 ⟩∪⟨0 ,→⟩` , stijgend voor elke `x` , verticale asymptoot `x=0` en horizontale asymptoot `y=0` .
`d` : `text(D)_d=⟨←,0 ⟩∪⟨0 ,→⟩` en `text(B)_d=⟨0 ,→⟩` , stijgend voor `x lt 0` en dalend voor `x gt 0` , verticale asymptoot `x=0` en horizontale asymptoot `y=0` .
`e` : `text(D)_e=[0 ,→⟩` en `text(B)_e=[0 ,→⟩` , stijgend voor elke `x gt 0` , minimum `e(0)=0` .
`f` : `text(D)_f=[0 ,→⟩` en `text(B)_f=[0 ,→⟩` , stijgend voor elke `x gt 0` , minimum `f(0)=0` .
`x=text(-)3 +root4 (255 )∨x=text(-)3 -root4 (255 )`
Oplossing ongelijkheid: `4 ≤x lt 8` .
`root4 (x)=20` geeft `x=20^4` . Oplossing ongelijkheid: `0 ≤x lt 160000` .
Oplossing ongelijkheid: `x gt text(-)1 +root3 (50 )` .
Oplossing ongelijkheid: `3 ≤x lt 59,25` .