`g(x)=2 (x+1 ) ^2+7 =2 x^2+4 x+9` .
De grafieken of tabellen bij beide functievoorschriften vergelijken, bijvoorbeeld met behulp van GeoGebra, Desmos of een GR.
Het is een dalparabool als `a>0` , en een bergparabool als `a < 0` .
Dit kun je aflezen uit `g(x)=2 (x+1 ) ^2+7` . De top is `(text(-)1 , 7 )` .
Zie figuur.
`x^2 + 5x = x^2 + 2*2,5x = (x+2,5)^2 - 2,5^2 = (x+2,5)^2 - 6,25`
`(x-5)^2 - 25 = x^2 - 10x + 25 - 25 = x^2 - 10x`
`x^2 - 5x = x^2 + 2*text(-)2,5x = (x-2,5)^2 - 2,5^2 = (x-2,5)^2 - 6,25`
`f(x)=(x+6) ^2-36`
`g(x)= (x-4 ) ^2-1`
`h(x)=2 (x-3) ^2-30`
`k(x)=text(-) (x-2 ) ^2+7`
`m(x)=(x+2)^2-20`
`k(x)=3(x+3)^2-33`
`f(x)=x^2-6 x+1`
`f(x)=(x-3 ) ^2-9 +1`
`f(x)=(x-3 ) ^2-8`
De top is `(3 , text(-)8 )` .
`x~~0,17 vv x~~5,83`
`x=(text(-)17+sqrt(829))/6vvx=(text(-)17-sqrt(829))/6`
Je vindt
`x= (6 +sqrt(32 )) /2∨x= (6 -sqrt(32 )) /2`
.
Ga na dat
dit hetzelfde is als
`x=3 +2sqrt(2) vv x=3 - 2sqrt(2)`
.
`x=0 vv x=4`
`x_1=3/8+sqrt(137)/8 vv x_2=3/8-sqrt(137)/8`
`3(x+17/6)^2-289/12=45` geeft `(x + 17/6)^2 = 829/36` , dus `x = text(-)17/6 +- sqrt(829/36)` .
Dit kun je schrijven als `x = (text(-)17 - sqrt(829))/6 vv x = (text(-)17 + sqrt(829))/6` .
`ax^2+bx+c=0`
Delen door `a` levert op:
`x^2+b/ax+c/a=0`
Kwadraat afsplitsen levert op:
`(x+b/ (2 a) ) ^2- (b/ (2 a) ) ^2+c/a=0` en dan volgt
`(x+b/ (2 a) ) ^2= (b/ (2 a) ) ^2-c/a`
Kwadraat wegwerken en breuken gelijk maken:
`(x+b/ (2 a) ) ^2 =b^2/(4a^2)- (4ac)/(4a^2)`
Samennemen:
`(x+b/ (2 a) ) ^2= (b^2-4 ac) / (4 a^2)`
Vervolgens worteltrekken:
`x+b/ (2 a) =±sqrt( (b^2-4 ac) / (4 a^2) )`
Herleiden:
`x=text(-) b/ (2 a) ±sqrt( (b^2-4 ac) / (4 a^2) )= (text(-) b) / (2 a) ± (sqrt(b^2-4 ac)) / (2 a) = (text(-) b±sqrt(b^2-4 ac)) / (2 a)`
`x=6 -sqrt(66 ) vv x=6 + sqrt(66 ) `
Met de abc-formule vind je `x= (12 ±sqrt(264 )) /2` . Ga na dat dit hetzelfde is als bij a.
abc-formule: `x= (1 -sqrt(13 )) /2 vv x = (1 + sqrt(13 )) /2`
`D =text(-)167 < 0` , dus geen oplossingen.
`x=2 ∨x=4`
`D=text(-)199 < 0` , dus geen oplossingen.
`x=8 ∨x=text(-)1`
`f(x)=2 (x-1,5 ) ^2-2,5`
Top:
`(1,5 ; text(-)2,5 )`
Nulpunten:
`x= 1,5 -sqrt(1,25 )~~0,38 vv x= 1,5 +sqrt(1,25 )~~2,62`
abc-formule: `a=2` , `b=text(-)6` en `c=2` .
`D=20`
ja
`x=(6-sqrt(20))/4=1,5-sqrt(1,25)~~0,38 vv x=(6+sqrt(20))/4=1,5+sqrt(1,25)~~2,62` ; ga na dat `sqrt(20)=sqrt(16)*text(-)sqrt(1,25)` .
Als je de nulpunten weet, dan weet je de `x` -coördinaten van de snijpunten van de grafiek van `f` met de `x` -as. Midden tussen deze snijpunten zit de symmetrieas `x=1,5` van de grafiek van `f` . Omdat de functiewaarde `f(1,5 )=text(-)2,5` vind je als top `(1,5; text(-)2,5)` .
Top: `(text(-)1 , 2 )`
Top: `(text(-)1/2, 2 3/4)`
`f(x)= (x+1/2k) ^2-1/4k^2+3`
`k=text(-)sqrt(8 )vv sqrt(8)`
Nulpunten: `x=text(-)1 vv x=5`
Top: `(2, text(-)9)`
`f(x)=text(-)4 x-5` is het voorschrift van een lineaire functie.
`p=text(-)0,8`
`f(x)=x^2+8 x-20 = (x+4) ^2-36`
Top:
`(text(-)4 , text(-)36 )`
`(x+4) ^2-36 =0` geeft `x=text(-)10 ∨x=2`
`x=text(-)10 ∨x=2`
`x^2+8 x-20 ` | `=` | `(x+10 )(x-2 )=0` | |
`x+10` | `=` | `0 vv x-2=0` | |
`x` | `=` | `text(-)10 vv x=2` |
`x~~text(-)2,41 vv x~~5,41`
`x~~text(-)0,10 vv x~~text(-)29,90`
`x=0 ∨x=3`
`x=3`
`D=text(-)15` , geen oplossingen.
`x=4 ∨x=text(-)3`
`x~~3,46vvx~~text(-)3,46`
`D=text(-)59` , geen oplossingen.
`x~~7,75vvx~~text(-)7,75`
`k=text(-)1`
`k=0`
`k=sqrt(20)vvk=text(-)sqrt(20)`
`k=2vvk=text(-)2`
Snijpunt
`y`
-as:
`f(0) = 90`
, dus
`(0, 90)`
.
Snijpunten
`x`
-as:
`f(x) = text(-)0,5x^2 + x + 90 = 0`
geeft
`x^2 - 2x - 180 = 0`
en dus
`x = (2 +- sqrt(720))/2`
. Dus
`(text(-)12,42; 0)`
en
`(14,42; 0)`
.
Symmetrieas `x = 2/2 = 1` , dus top `(1; 90,5)` .
De grafiek is een bergparabool, dus `f(1) = 90,5` is een maximum.
Nulpunten:
`x=text(-)2 vv x=text(-)1`
Top:
`(text(-)1 1/2, text(-)1/2)`
`p=text(-)sqrt(4,5) vv p=0 vv p=sqrt(4,5)`
nul keer
twee keer
`p=1,5-1/16sqrt(2144) ~~ text(-)1,39 vv p=1,5+1/16sqrt(2144) ~~ 4,39`
Er is ook één snijpunt als `p=0` .
`0,0001x^2-0,1x+54 = 34` geeft `0,0001x^2-0,1x+20 = 0` .
Met de abc-formule: `x ~~ 276,4 vv x ~~ 723,6` .
Hij moet dus ofwel `277` ofwel `723` m2 dakplaat bestellen.
Top van de kwadratische functie (dalparabool) bij `x=text(-)b/(2a)=(0,1)/(0,0002)=500`
De minimale prijs zit bij `500` m2 en bedraagt `29` euro per m2.
Vul in: `q=12` en `l = 10` .
`M_(text(max)) = 1/8 * 12 * 10^2 = 150` kNm.
`text(-)6x^2 + 60x - 112,5 = 0` geeft met de abc-formule `x = (text(-)60 +- sqrt(900))/(text(-)12)` .
Dus `x=2,5 vv x=7,5` m.
Steunpunt 1 zit op `2,5` m vanaf oplegpunt `A` en steunpunt 2 op `7,5` m vanaf oplegpunt `A` .
`y = x - 4,9 (x^2)/50 = x - 0,098x^2`
`x - 0,098x^2 = 0`
kun je oplossen met ontbinden in factoren, kwadraat afsplitsen, of de abc-formule.
Ontbinden is het handigst. Je vindt
`x = 0 vv x ~~ 10,20`
.
Na `10,20` m komt de kogel weer op de grond.
Functie: `y = text(-)0,098x^2 + x + 1,8` .
`text(-)0,098x^2 + x + 1,8 = 0`
kun je oplossen met kwadraat afsplitsen, of de abc-formule.
Met de abc-formule:
`x ~~ text(-)1,56 vv x ~~ 11,77`
.
Na `11,77` m komt de kogel weer op de grond.
`x=text(-)3 ∨x=5` .
Geen oplossing.
`x=3vvx=text(-)3`
`x~~text(-)0,81 vv x~~2,47`
`p=0`
`(1 1/2; text(-)2 1/4)`
`x~~text(-)0,85vvx~~2,35`
`p =text(-)1 1/8`