Zijde $AB$.

Zijden $AC$ en $BC$.

Doen. Bereken de oppervlakte van dit vierkant nu door de oppervlaktes van de vierkanten op de rechthoekszijden op te tellen en niet meer door het vierkant te verdelen.

$AB=\sqrt{13}\approx \mathrm{3,61}$.

De lengte in de tekening klopt bij benadering met het antwoord bij d.

De oppervlakte van dit vierkant is $5^2+3^2=34$.

$AB=\sqrt{34}\approx \mathrm{5,83}$.

De lengte in de tekening klopt bij benadering met het antwoord bij b.

Doen, je kunt het beste oefenen met de applet in de Uitleg . Eventueel oefen je samen met een medeleerling en geef je elkaar rechthoekige driehoeken op.

De oppervlakte van dit vierkant is $4^2+3^2=25$.

$AB=\sqrt{25}=5$. Een benadering is niet nodig omdat $25$ een kwadraat is. Dit komt af en toe voor bij de stelling van Pythagoras.

De lengte in de tekening klopt bij benadering met het antwoord bij b.

Beide zijden hebben een lengte van $a+b$, want ze bestaan elk uit de twee rechthoekszijden van de rechthoekige driehoek $ABC$ achter elkaar gelegd.

Ook nu hebben beide zijden een lengte van $a+b$, want ze bestaan elk uit de twee rechthoekszijden van de rechthoekige driehoek $ABC$ achter elkaar gelegd.

Dat is gelijk aan de oppervlakte van de vierkanten I en II plus vier gelijke rechthoekige driehoeken die allemaal gelijk zijn aan $\mathrm{∆}ABC$.

Dat de oppervlakte van vierkant III gelijk moet zijn aan die van de vierkanten I en II samen.

De redenering hiervoor ziet er wel sterk uit. Maar er zijn wat haken en ogen...
Hoe weet je bijvoorbeeld zeker dat al die rechthoekige driehoeken binnen de gestippelde vierkanten ook echt gelijk zijn aan $\mathrm{∆}ABC$? Een echt zorgvuldig bewijs kun je in de wiskunde alleen leveren binnen een goed opgebouwde theorie. Daarmaak je alleen in de bovenbouw bij vwo wiskunde B kennis mee.

$6^2+4^2=A{B}^2$ geeft $AB=\sqrt{52}$.

Doen. Geef elkaar een opgave op (bijvoorbeeld op papier) en laat de ander het antwoord berekenen. Controleer je antwoord met de applet in Voorbeeld 1.

Doen.

${18}^2+{30}^2={PR}^2$. Dit geeft $PR=\sqrt{1224}\approx \mathrm{34,99}$ cm.

Nu krijg je: ${\mathrm{1,5}}^2+Q{R}^2={\mathrm{3,5}}^2$.
Dit geeft: $Q{R}^2={\mathrm{3,5}}^2-{\mathrm{1,5}}^2=10$.
En dus is: $QR=\sqrt{10}\approx \mathrm{3,16}$ m.

Nu krijg je: $P{Q}^2+3^2={\mathrm{3,5}}^2$.
Dit geeft: $P{Q}^2={\mathrm{3,5}}^2-3^2=\mathrm{3,25}$.
En dus is: $PQ=\sqrt{\mathrm{3,25}}\approx \mathrm{1,80}$ m. De voet van de ladder moet op $180$ cm van de muur.

Doen.

${16}^2+{QR}^2={30}^2$. Dit geeft $QR=\sqrt{644}\approx \mathrm{23,38}$ cm.

Controleer je antwoorden met de applet. Gebruik het aanvinkvakje.

Doen.

Omdat $20+20=40$ geldt in deze driehoek de stelling van Pythagoras: $A{C}^2+B{C}^2=A{B}^2$. En omdat die alleen in rechthoekige driehoeken geldt, moet deze driehoek dus wel rechthoekig zijn. Ga na, dat $\angle C$ de rechte hoek is.

$A{B}^2={10}^2+2^2=104$
$A{C}^2=9^2+2^2=85$
$B{C}^2=1^2+4^2=17$
In deze driehoek geldt de stelling van Pythagoras dus niet.

$A{B}^2=9^2+2^2=85$
$A{C}^2=8^2+2^2=68$
$B{C}^2=1^2+4^2=17$
In deze driehoek geldt de stelling van Pythagoras. De driehoek is rechthoekig.

Gebruik passer en geodriehoek.
Omdat $4^2+5^2\ne 6^2$.

Gebruik passer en geodriehoek.
Omdat $5^2+{12}^2={13}^2$.

${10}^2+{\mathrm{7,5}}^2={\mathrm{12,5}}^2$, dus deze driehoek is rechthoekig met $\angle B$ als rechte hoek.

$2^2+2^2\ne 3^2$, dus deze driehoek is niet rechthoekig.

${10}^2+{24}^2={26}^2$, dus deze driehoek is rechthoekig met $\angle H$ als rechte hoek.

${25}^2+{25}^2=50$, dus deze driehoek is rechthoekig met $\angle K$ als rechte hoek.

Manier 1: een constructie; manier 2: haakse hoek gebruiken; manier 3: de 3,4,5-regel.

$3^2+4^2=5^2$, dus in zo'n driehoek geldt de stelling van Pyhtagoras. Het is dus een rechthoekige driehoek.

Noem de tussenruimtes tussen de knopen $x$ cm. Je kunt dan een driehoek maken met zijden van $3x$, $4x$ en $5x$. Omdat ${(3x)}^2+{(4x)}^2={(5x)}^2$, geldt in deze driehoek altijd de stelling van Pythagoras en dus is hij altijd rechthoekig.

Teken de figuur na.

De kleinste vierkanten zijn $1$ bij $1$ cm.

In het midden komen er vierkanten tegen elkaar en daar is de boom dus niet meer uit te breiden of je moet vierkantjes over elkaar heen leggen.

Je moet heel nauwkeurig tekenen. Er komen nog twee stappen bij, maar er zijn nu meer plekken waar "takken" over elkaar gaan lopen.

Je moet heel nauwkeurig tekenen. Er komen nog twee stappen bij, maar er zijn nu meer plekken waar "takken" over elkaar gaan lopen.

Leuk om zelf eens uit te zoeken. Misschien ontdek je wel dat de hele Pyhtagorasboom altijd binnen een rechthoek past die $6$ keer zo lang is als het vierkantje waarmee je begint en $4$ keer zo breed.

Eerst wordt aangetoond dat de twee gestippelde vierkanten in beide figuren hetzelfde zijn. De oppervlakte van het gestippelde vierkant in de linker figuur is gelijk aan de oppervlakte van vierkant III plus vier gelijke rechthoekige driehoeken die allemaal gelijk zijn aan $\mathrm{∆}ABC$. De oppervlakte van het gestippelde vierkant in de rechter figuur is gelijk aan de oppervlakte van de vierkanten I en II plus vier gelijke rechthoekige driehoeken die allemaal gelijk zijn aan $\mathrm{∆}ABC$. En dus moet de oppervlakte van vierkant III wel gelijk zijn aan de oppervlakte van de vierkanten I en II.

Bekijk de animatie goed.

De zijden ervan zijn $a+b$.

$A=c^2+4\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot b$.

Uit c volgt: $A={(a+b)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$.
Uit d volgt: $A=c^2+4\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot b=c^2+2ab$.
Beide uitdrukkingen geven dezelfde oppervlakte weer en zijn dus gelijk. En daaruit volgt $a^2+b^2=c^2$.

Het ziet er mooi uit, maar je moet eigenlijk ook nog aantonen dat het blauwe gebied echt een vierkant is als de hele figuur een vierkant is. Dat gaat met behulp van hoeken...