Oppervlakte en inhoud > Oppervlakte van ruimtelijke figurenAntwoorden van de opgaven
Je vermenigvuldigt de omtrek van het grondvlak met de hoogte. De formule wordt dus `2 π r*h` .
Voor de bol geldt dan `h=2 r` . De oppervlakte van de bol wordt dus `2 π r*2 r=4 πr^2` .
`opp (c i l i n d e r)=2 pi *10 *20 +2 pi *10^2=600pi` cm2.
De oppervlakte van een cilindermantel is `2pirh` . Dan komt er tweemaal de oppervlakte van een cirkel bij dus `+2pir^2` . Je krijgt dan: `opp (c i l i n d e r) = 2 π rh+2 π r^2` .
Gebruik de formule voor de oppervlakte van de bol: `oppervlakte (b o l)=4pir^2=4 π *10^2=400pi` cm2.
De straal van de aarde is
`40000/ (2pi) ≈6366`
km.
De oppervlakte is daarom ongeveer
`6366,197...^2*4pi ≈509295818`
km en dat is ongeveer
`509`
miljoen km2.
De formule die je gebruikt is `opp (k e g e l m a n t e l)=pi rsqrt(r^2+h^2)` .
Met `r=5` en `h=8` krijg je `opp (k e g e l m a n t e l)=pi *5 *sqrt((5^2+8^2))=5 pi sqrt(89)` .
`oppervlakte (k e g e l)=5pisqrt(89)+25pi~~226,73` .
`sqrt(r^2+h^2)=AT=R` . Dus geldt:
`oppervlakte (k e g e l m a n t e l)=pi rsqrt(r^2+h^2)=piR`
Bekijk de rechthoekige `ΔATM` nog eens.
Dan zie je dat geldt `tan( 1/2 alpha)=5/8` , waarbij `alpha` de tophoek is. Dit geeft een tophoek van ongeveer `64^@` .
`opp =6 *6^2=216` cm2.
`opp =6 *6 +4 *1/2*6 *3 sqrt(3 )=36 +36 sqrt(3 )` cm2.
Bereken eerst de hoogte van elke driehoek: `h=sqrt(6^2-3^2)=sqrt(27)=3sqrt(3)` .
`opp =4 *1/2*6 *3 sqrt(3 )=36 sqrt(3 )` cm2.
Bereken de hoogte van de twee driehoeken: `h=sqrt(6^2-3^2)=sqrt(27)=3sqrt(3)` .
`opp =2 *1/2*6 *3 sqrt(3 )+3 *6^2=108 +18 sqrt(3 )` cm2.
`Z` is het snijpunt van de loodlijn door `F` op `SB` . De afstand van `Z` tot `AB` is een vierde van de lengte van `BC` , dus die afstand is `1/4*6=1,5` . Met behulp van de stelling van Pythagoras vind je dat de hoogte van het trapezium gelijk is aan `sqrt(6^2+1,5^2)=sqrt(38,25)` .
De hoogte van elk opstaand zijvlak is
`sqrt(6^2-2^2)=sqrt(32 )`
.
De totale buitenoppervlakte is
`6^2+2^2+4 *1/2*(6 +2 )*sqrt(32 )=40 +16 sqrt(32 )`
cm2.
De totale buitenoppervlakte bestaat uit een grondvlak (cirkel), een cilindermantel en een kegelmantel. In die volgorde bij elkaar opgeteld is de oppervlakte `pi *5^2+2 *pi *5 *20 +pi *5 *sqrt(5^2+5^2)=225 pi +5 pi sqrt(50)~~818` cm2.
Linker figuur: Het gaat hier om een halve kegelmantel, een halve grondcirkel en een
driehoek. Dus de oppervlakte is
`1/2*pi *1,5 *sqrt(1,5^2+3^2)+1/2*pi *1,5^2+1/2*3*3≈15,94`
m2.
Middelste figuur: Het gaat hier om een kwart van een bol en tweemaal een halve grondcirkel.
Dus de oppervlakte is
`1/4*4 pi *1,5^2+2 *1/2*pi *1,5^2=4,5 pi ≈14,14`
m2.
Rechter figuur: Het gaat hier om twee dezelfde afgeknotte kegels plus de oppervlakte
van de twee grondcirkels met een straal van
`1,5`
m.
Dus de oppervlakte is `2 *(pi *1,5 *sqrt(1,5^2+2,25^2)-pi *0,5 *sqrt(0,5^2+0,75^2))+2 *pi *1,5^2≈36,79` m2.
De gevraagde oppervlakte is het verschil tussen driekwart van de grote cirkel en driekwart van de kleine cirkel.
De oppervlakte van de grote driekwart cirkel is: `3/4 * pi * 119^2 = 10620,75 pi ` cm2.
De oppervlakte van de kleine driekwart cirkel is: `3/4 * pi * 19^2 = 270,75 pi ` cm2.
De gevraagde oppervlakte is dus `10620,75 pi - 270,75 pi = 10350 pi ` cm2 `~~325` dm2.
Het schilddak bestaat uit twee trapezia `ABEF` en `CDEF` en twee gelijkbenige driehoeken `BCF` en `ADE` .
De hoogte van de driehoek is `sqrt(3^2+5^2)=sqrt(34)` m. Dus de oppervlakte van de driehoek is `1/2*8*sqrt(34)=4sqrt(34)` m2.
De hoogte van het trapezium is `sqrt(5^2+4^2)=sqrt(41)` m. Dus de oppervlakte van het trapezium is dan `1/2*(12+6)*sqrt(41)=9sqrt(41)` m2.
In totaal vind je dan voor het schilddak:
`opp (s c h i l d d a k)=2 *1/2*8 *sqrt(34 )+2 *1/2*(12 +6 )*sqrt(41 )=8 sqrt(34 )+18 sqrt(41 )` m2.
De opstaande driehoeken in deze piramide zijn vijf gelijkzijdige driehoeken met zijden van `4` . De oppervlakte van één zo'n driehoek is `1/2*4*sqrt(4^2-2^2)=2sqrt(12)` .
Het grondvlak is een vijfhoek met zijden van `4` . Deze kun je verdelen in vijf gelijke driehoeken met een basis van `4` en een tophoek van 72^@. De oppervlakte van zo'n driehoek is `1/2*4*2/(tan(36^@))=4/(tan(36^@))` .
Bij elkaar optellen levert de oppervlakte van de hele piramide: `5 *2sqrt(12)+5 *4/ (tan(36^@)) ≈62,17` .
De tent bestaat uit een afgeknotte kegel (onderste deel van de tent) en een hele kegel (bovenste deel van de tent).
De oppervlakte van het bovenste deel is: `pi*1,5*sqrt(1,5^2+1^2)` m2.
De oppervlakte van het onderste deel is: `pi*2*sqrt(2^2+12^2)-pi*1,5*sqrt(1,5^2+9^2)` m2
De totale oppervlakte is: `pi *1,5 *sqrt(1,5^2+1^2)+pi *2 *sqrt(2^2+12^2)-pi *1,5 *sqrt(1,5^2+9^2))≈41,93` m2.
De figuur bestaat uit twee regelmatige achthoeken en `16` gelijkzijdige driehoeken met ribben van `4` cm.
De achthoek kun je verdelen in acht gelijkbenige driehoeken met een tophoek van `(360^@)/8=45` ^@.
De oppervlakte van één zo'n driehoek is dus `1/2*4*2/(tan(22,5^@))` cm2.
De oppervlakte van de achthoek is dan `8*1/2*4*2/(tan(22,5^@))` cm2.
Op de rand zitten gelijkzijdige driehoeken met zijden van `4` cm.
De oppervlakte van één zo'n driehoek is dan `1/2*4*sqrt(4^2-2^2)` cm2.
De gevraagde oppervlakte is dus: `2 *8 *1/2*4 *2/ (tan(22,5^@)) +16 *1/2*4 *sqrt(4^2-2^2)≈265` cm2.
De oppervlakte van een bolsegment is `2pi r h` .
Met behulp van een dwarsdoorsnede kun je zien dat `r^2=a^2+(r-h)^2` , hetgeen je kunt omschrijven naar `r=(a^2+h^2)/(2h)` . Substitueer dit in `2pi r h` en je krijgt:
`opp (b o l s e g m e n t)=2pi (a^2+h^2)/(2h) * h = pi(a^2+h^2)`
De oppervlakte van de bolwoning) is: `4 pi *4^2 - 2 *pi *4 *(4 -sqrt(4^2-3^2))+2 pi *3 *3 ≈ 224` m2.
Linker figuur: oppervlakte is
`24 sqrt(18 )`
.
Middelste figuur: oppervlakte is
`36 sqrt(12 )`
.
Rechter figuur: oppervlakte is
`32 sqrt(13 )`
.
Ongeveer `1510` cm2.
Ongeveer `377` m2.