Oppervlakte en inhoud

Oppervlakte en inhoud > Oppervlakte van vlakke figuren

Overzicht

12345Oppervlakte van vlakke figuren

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

`o p p ( d r i e h o e k ) = 1/2 * b a s i s * h o o g t e `

`o p p( g e l i j k z. d r i e h o e k) = 1/4sqrt(3 )*z^2` waarin `z` de lengte van een zijde is.

`o p p ( p a r m ) = b a s i s * h o o g t e `

`o p p ( t r a p e z i u m ) = 1/2*(a+b)*h` waarin `a` en `b` de lengtes van de twee evenwijdige zijden en `h` de hoogte (de afstand tussen beide evenwijdige zijden) is.

`o p p ( c i r k e l ) = πr^2` , zie Uitleg 2.

Opgave 1

`ΔADC` is een halve rechthoek met oppervlakte `1/2*1*4=2` .
`ΔBDC` is een halve rechthoek met oppervlakte `1/2*4*4=8` .
De oppervlakte van `ΔABC` is `2+8=10` .

`ΔADC` is een halve rechthoek met oppervlakte `1/2*2*4=4` .
`ΔBDC` is een halve rechthoek met oppervlakte `1/2*3*4=6` .
De oppervlakte van `ΔABC` is `4+6=10` .

`ΔADC` is een halve rechthoek met oppervlakte `1/2*p*h` .
`ΔBDC` is een halve rechthoek met oppervlakte `1/2*q*h` .
De oppervlakte van `ΔABC` is `1/2*p*h+1/2*q*h=1/2*(p+q)*h=1/2*b*h` .

`ΔDBC` is een halve rechthoek met oppervlakte `1/2*6*4=12` .
`ΔDAC` is een halve rechthoek met oppervlakte `1/2*1*4=2` .
De oppervlakte van `ΔABC` is `12-2=10` .

`ΔDBC` is een halve rechthoek met oppervlakte `1/2*(p+b)*h` .
`ΔDAC` is een halve rechthoek met oppervlakte `1/2*p*h` .
De oppervlakte van `ΔABC` is `1/2*(p+b)*h-1/2*p*h=1/2*b*h` .

Opgave 2

`CS=6*sin(55^@) ~~ 4,915` .

De oppervlakte van `DeltaABC` is dus: `(1/2)*AB*CS=(1/2)*8*6*sin(55^@)~~19,66` .

Opgave 3

De oppervlakte van een cirkel kun je benaderen door de oppervlakte van een regelmatige `n` -hoek waarvan de hoekpunten op de cirkel liggen. Die benadering wordt steeds beter als `n` groter wordt.
Die regelmatige `n` -hoek bestaat uit `n` gelijkbenige driehoeken met basis `b≈ (2 pi r) /n` en hoogte `h≈r` . (Ook dat klopt steeds beter als `n` groter wordt.)
De oppervlakte van de cirkel is de oppervlakte van `n` van die driehoeken, dus: `n*1/2*b*h≈n* (2 pi r) /n*r=pi r^2` .

Opgave 4

De oppervlakte is `0,5 *0,5 *2 +1,5 *2 +0,5 *1 *2 =4,5` cm².

Trek bijvoorbeeld diagonaal `AC` . Er ontstaan dan de twee driehoeken `ACD` en `ABC` .
De oppervlakte is `0,5 *1,5 *2 +0,5 *3 *2 =4,5` cm². En dit is natuurlijk hetzelfde antwoord als bij a. De diagonaal zorgt er enkel voor dat het trapezium op een andere manier in stukken wordt verdeeld.

`0,5 *(3 +1,5 )*2 =4,5` cm².

Opgave 5

oppervlakte (a) `=1/2*4 *13 sin(40^@)≈16,71`
oppervlakte (b) `=3 *13 sin(50^@)≈29,88`
oppervlakte (c) `=1/2*4 *5 -1/4*pi*2^2≈6,86`
oppervlakte (d) `=1/2*π* (sqrt(18 ) /2) ^2-(1/4*pi*3^2-1/2*3 *3 )=4,5`
oppervlakte (e) `=1/2*pi*3^2-pi*1,5^2≈7,07`

Opgave 6

`2 *0,5 *6 *2 =12`

De hoogtes van de twee driehoeken `ACD` en `ABC` waarin je de vlieger verdeelt, veranderen daardoor niet, zelfs niet als dit snijpunt op het verlengde van `AC` ligt.

De oppervlakte van een vlieger met diagonalen met lengtes `p` en `q` is: `opp(vlieger) =1/2*p*q` .

Opgave 7

De figuur kun je verdelen in zes gelijke gelijkzijdige driehoeken. De hoogte van zo'n driehoek is `(2,5)/(tan(30^@))` .

De oppervlakte van de hele regelmatige zeshoek is `6 *0,5 *5 *(2,5)/(tan(30^@))≈64,95` cm².

De figuur kun je verdelen in vijf gelijke gelijkbenige driehoeken met tophoeken van `(360^@)/5=72^@` . De hoogte van zo'n driehoek is dan `(2,5)/(tan(36^@))` .

De oppervlakte van de hele regelmatige vijfhoek is `5 *0,5 *5 *(2,5)/ (tan(36^@)) ≈43,01` cm².

Opgave 8

De figuur kun je in twintig gelijke gelijkbenige driehoekjes verdelen met tophoeken van `360/20=18^circ` . De hoogte van zo'n driehoek is `5*cos(9^@)` en de basis `2*5*sin(9^@)` .

De oppervlakte is `20 *0,5*2*5 sin(9^@)*5 cos(9^@)≈77,25` .

Ongeveer `π*5^2-77,25 ≈1,29` .

Opgave 9

Omdat `60/360=1/6` is deze sector `1/6` deel van de cirkel.

De oppervlakte van de cirkelsector is `1/6*pi*2^2≈2,09` .

De oppervlakte van de cirkelsector is `75/360*pi*1,5^2≈1,47` .

Opgave 10

De halve sectorhoek `α` bereken je uit `sin(α)=2/3` . Dit geeft `α≈41,8^@` .

De oppervlakte van de cirkelsector is ongeveer `(83,6)/(360)*pi*3^2` .

De oppervlakte van de driehoek is `0,5*4*sqrt(3^2-2^2)` .
Dus de oppervlakte van het segment is `(83,6)/(360)*pi*3^2-2*sqrt(5)≈2,10` .

Opgave 11

Oppervlakte figuur I: `1/2*6 *7 sin(20 ^@)≈7,18` .
Oppervlakte figuur II: `1/2*(7 +3 )*7 sin(50 ^@)≈26,81` .

Oppervlakte figuur III: De oppervlakte van deze figuur is het verschil van een gelijkbenige driehoek met zijden van `13` en een gelijkbenige driehoek met zijden van `5` . De basis van de hele figuur is dan `2 *13 sin(15 ^@)≈6,73` en de hoogte van de kleine gelijkzijdige driehoek is `sqrt(5^2- (13 sin(15 ^@)) ^2)≈3,70` . De hoogte van de hele figuur is `13cos(15)~~12,56` .

De gevraagde oppervlakte is `2*(0,5*13sin(15^@)*13cos(15^@)-0,5*13sin(15^@)*sqrt(5^2- (13 sin(15 ^@)) ^2))~~29,81` .

Oppervlakte figuur IV: `2 *(1/4pi*3^2-1/2*3 *3 )≈5,14` .
Oppervlakte figuur V: `1/4pi*6^2-2 *1/2pi*3^2+2 *(1/4pi*3^2-1/2*3 *3 )≈5,14` .

Opgave 12

`pi*5^2-8 *1/2*2*5 sin(22,5^@)*5 cos(22,5^@)≈7,83` cm².

Opgave 13

De figuur bestaat uit drie cirkelsegmenten en drie gelijkzijdige driehoeken.

De oppervlakte van zo'n cirkelsegment is `1/6*pi*30^2=150pi` .

De oppervlakte van zo'n gelijkzijdige driehoek is `1/2*30*sqrt(30^2-15^2)=15sqrt(675)` .

De totale oppervlakte is `3 *150pi+3 *15sqrt(675)≈2583` cm².

De omtrek is `3 *30 +1/2*2 pi*30 =90 +30 pi≈184` cm.

Opgave 14

`sqrt(3)-1/2pi`

Opgave 15

Dit is het geval als de oppervlakte van het trapezium dat de voorkant van de bak vormt, in twee gelijke delen wordt verdeeld. Dit trapezium heeft een oppervlakte van `1/2*(40 +50 )*30 =1350` cm².
Als de hoogte van de onderste helft `h` is, is met gelijkvormigheid aan te tonen dat de langste van de twee evenwijdige zijden van dit trapezium gelijk is aan `40 +1/3h` . De oppervlakte van dit onderste trapezium is de helft van de oppervlakte van het hele trapezium, dus `1/2*(40 +40 +1/3h)*h=675` .
Dit geeft `80 h+1/3h^2=1350` ofwel: `h^2+240 h-4050 =0` .
Hieruit vind je `h= (text(-)240 +sqrt(73800 )) /2≈15,83` cm.

De oppervlakte van de waterspiegel is ongeveer `(40 +1/3*15,83 )*200 ≈9055` cm².

Opgave 16

`s` staat voor de halve omtrek. De omtrek bereken je door `a` , `b` en `c` bij elkaar op te tellen, ofwel: `a+b+c` . De helft daarvan is `(a+b+c)/2` . Dus `s=(a+b+c)/2` .

De rechthoekszijden van deze driehoek zijn `3` cm en `4` cm lang. Die kun je meteen als basis en hoogte gebruiken. Er geldt dan: oppervlakte (driehoek) `= 1/2 *` basis `*` hoogte.

Invullen geeft: oppervlakte (driehoek) `= 1/2 * 3 * 4=6` cm².

oppervlakte `=6` cm²
Dit klopt, want het is dezelfde uitkomst als bij b.

Bereken eerst `s` met de formules die je bij a hebt gevonden. Je vindt dan: `s=(a+b+c)/2=(12,9+9,3+11,8)/2=34/2=17` . Dus `s=17` .

oppervlakte `~~52,83` cm².

Opgave 17Bewegingssnelheid van aarde en maan

Bewegingssnelheid van aarde en maan

De omtrek van de baan van de maan is ongeveer `2 π*384450 ≈2415256` km. De snelheid van de maan in zijn baan om de aarde is dus ongeveer `2415571/(27,32) ≈88418` km per dag. Dat is ongeveer `88406:24=3684` km/h.

De omtrek van de baan van de Maan is ongeveer `2 π* 149,6 * 10^6 ≈ 940*10^6` km. De snelheid van de aarde in zijn baan om de zon is dus ongeveer `(940*10^6)/(365,25) ≈ 2,573 * 10^6` km per dag. Dat is ongeveer `0,107 * 10^6 = 107*10^3` km/h.

Opgave 18

Oppervlakte figuur I: `19,28` .

Oppervlakte figuur II: `14,15` .

Oppervlakte figuur III: `16,5` .

Oppervlakte figuur IV: `2pi~~6,28` .

Opgave 19

De oppervlakte van het gearceerde gebied is ongeveer `0,92` .

verder | terug