`AC=sqrt(5^2+3^2)=sqrt(34 )` en `AG=sqrt((sqrt(34)) ^2+2^2)=sqrt(38 )`
Uit `tan(∠CAG)=2/ (sqrt(34 ))` volgt `∠CAG≈19^@` .
`AFGD` is een rechthoek.
`AF=sqrt(5^2+2^2)=sqrt(29 )`
`tan(∠AGF)= (AF) / (FG) = (sqrt(29 )) /3` , dus `∠AGF≈61^@` .
Bereken eerst `AH` : `AH=sqrt(4^2+3^2)=5` .
Gebruik dit vervolgens om `AM` te berekenen: `AM=BM=sqrt(5^2+3^2)=sqrt(34)` .
`tan(∠AMH)= (AH)/(HM) =5 /3` , dus `∠AMH≈59^@` .
`sin(∠AMD)= (AD) / (AM) =4/ (sqrt(34))` , dus `∠AMD≈43 ^@` .
`∠AMB=180^@ - 2 *∠AMH ≈ 62^@` .
`AC=sqrt( (AB) ^2+ (BC) ^2)=sqrt(4^2+4^2)=sqrt(32)~~5,66`
cm.
`AG=sqrt( (AC) ^2+ (CG) ^2)=sqrt(32+6^2)=sqrt(96)~~9,80`
cm.
`AG=sqrt(4^2+4^2+6^2)=sqrt(96)~~9,80` cm.
`PR^2 = 33 != PQ^2 + QR^2 = 29 + 8 = 37` , dus de stelling van Pythagoras geldt niet in deze driehoek. Daarom zit er (volgens de omgekeerde stelling van Pythagoras) geen rechte hoek in deze driehoek.
`PG=sqrt(4^2+4^2+4^2)=sqrt(48)~~6,93` cm.
`tan(∠AFD)= (AD) / (AF) =4/(sqrt(52))` , dus `∠AFD≈29^@` .
`∠QAC=∠BAC=45^@`
`ΔHPQ` is niet rechthoekig, dus kun je de goniometrische verhoudingen van sinus, cosinus of tangens niet gebruiken.
Uit
`x=3/4(x+3 )`
volgt
`4x=3x+9`
en dus
`x=9`
.
`CT = x+3 = 9+3 = 12`
cm.
`CT=12`
,
`TF=12 -3 =9`
en
`CB=3`
.
`ΔTCB`
is gelijkvormig met
`ΔTFE`
.
Dus
`FE=9/12*CB=9/12*3 =2,25`
.
`tan(∠CBE)=12/3=4` , dus `∠CBE≈76^@` .
`PQ=2` (middenparallel van `ΔDEF` ) en `BP=BQ=sqrt(4^2+2^2)=sqrt(20)` .
Teken de hoogtelijn in `ΔBPQ` uit `B` op `PQ` .
`cos(∠BPQ)=1/ (sqrt(20 ))`
, dus
`∠BPQ≈77^@`
. En
`∠BQP=∠BPQ~~77^@`
.
Dus is
`∠PBQ=180^@ - 2 *∠BPQ≈26^@`
.
Maak een schets van diagonaalvlak `ABGH` . Dit is een rechthoek met `AB=4` cm en `AH=sqrt(52)` cm. `P` is midden `GH` . `PA=PB` en is uit te rekenen met de stelling van Pythagoras in bijvoorbeeld `ΔAPH` .
Dan geldt `AP=sqrt(2^2+52)=sqrt(56)` cm. `ΔAPB` is gelijkbenig en dus geldt `PB=sqrt(56)` cm en `∠PAB=∠PBA` .
`tan(∠PAB)=sqrt(52)/2` geeft `∠PAB=∠PBA~~74,5^@` .
En dus `∠APB~~180^@-2*74,5^@=31^@` .
`P` en `R` zijn middens. Dus `PR=sqrt(3^2+3^2)=sqrt(18)` .
Noem het "weggesneden" punt `F` . Of schets zelf een complete kubus met `P` , `R` , en `Q` zoals gegeven.
`BQ=1` dus `QF=5` . Dan volgt `QP=QR=sqrt(5^2+3^2)=sqrt(34)` .
Neem de lengtes `PR` en `QR` om de driehoek te construeren.
Neem
`M`
als het midden van
`PR`
.
`PM=1/2*sqrt(18)=sqrt(1/4*18)=sqrt(4,5)`
en
`QM=sqrt(34-4,5)=sqrt(29,5)`
.
`tan(∠QPR)=(sqrt(29,5))/(sqrt(4,5))`
geeft
`∠QPR=∠QRP~~69^@`
.
`∠PQR≈180^@-2*69^@~~43^@`
.
Teken eerst rechthoek `DBFH` met `DB=HF=sqrt(6^2+6^2)=sqrt(72)` cm en `DH=BF=6` cm.
Vervolgens teken je `Q` zo dat `BQ=1` .
Punt
`S`
ligt zo, dat
`FS=1/4*HF`
.
Dus
`FS=1/4*sqrt(72)`
cm.
Nu kun je vijfhoek
`DBQSH`
tekenen.
`tan(∠FQS)=1/4*sqrt(72)/5` geeft `∠FQS~~23^@` .
`∠BQS=180^@-∠FQS~~157^@` , `∠FSQ=90^@-∠FQS~~67^@` en `∠QSH=180^@-∠FSQ~~113^@` .
Deze vijfhoek heeft dus drie hoeken van `90^@` , een hoek van `157^@` en een hoek van `113^@` .
Maak een tekening van de piramide, noem `S` het snijpunt van de diagonalen in het grondvlak en bereken eerst de lengte van een van beide diagonalen in het grondvlak: `AC=sqrt(6^2+6^2)=sqrt(72)` . `AS` is dan `1/2 * sqrt(72)=sqrt(18)` . Laat nu vanuit `T` een loodlijn neer op het grondvlak. De lengte van `TS` bereken je met de stelling van Pythagoras in bijvoorbeeld `ΔAST` : `TS=sqrt(6^2-18)=sqrt(18)` .
Dus `TS=sqrt(18)` .
Bij een gelijkbenig trapezium moet één paar zijden evenwijdig lopen en twee andere zijden moeten even lang zijn.
De driehoek
`ABT`
aan de voorzijde is gelijkzijdig. Aangezien
`P`
in het midden van
`AT`
ligt, is
`BP`
een loodlijn in driehoek
`ABT`
. Dus
`PB=sqrt(6^2-3^2)=sqrt(27)`
.
Net zo is
`QC=sqrt(27)`
. Dus bij dit trapezium geldt
`BP=CQ`
.
Verder is
`BC=6`
en
`PQ=3`
.
Omdat
`PQ////BC`
is
`BCPQ`
een gelijkbenig trapezium.
Om de figuur te kunnen tekenen is het verstandig om eerst de hoogte van het trapezium uit te rekenen. Die hoogte is `sqrt(27 -1,5^2)=sqrt(24,75 )≈4,97` cm.
Teken `BC=6` cm. Zet op `BC` de punten `U` en `V` , zodat `BU=CV=1,5` cm.
Richt in `U` en `V` loodlijnen op `BC` op met lengte `UP = VQ = sqrt(27)` cm. Maak het trapezium af.
`tan(∠BPU)=(1,5)/sqrt(24,75)`
en
`∠BPU~~16,8^@`
dus
` ∠BPQ=90+16,8=106,8^@`
.
Deze hoek is gelijk aan
`∠PQC`
.
De twee andere hoeken zijn ook even groot: `∠PBC=90^@-∠BPU~~73,2^@` .
Dus `∠PBC=∠QCB=73,2^@` .
Stel `BC=x` :
`x` |
`=` |
`3/11*(x+6)` |
|
`x` |
`=` |
`3/11*x+18/11` |
|
`8/11*x` |
`=` |
`18/11` |
|
`8x` |
`=` |
`18` |
|
`x` |
`=` |
`9/4=2 1/4` |
Dus `BC=x=2 1/4` .
`EG=sqrt(40^2+10^2)=sqrt(1700 )` en `EF=3/4*sqrt(1700 )` .
Als
`h`
de hoogte van de boom is, dan is
`6/1000*h=2`
cm.
Dus is
`h=2000/6≈333,3`
cm.
Het is daarom maar een kleine boom van ongeveer
`3,33`
meter.
Als `a` de afstand tot het vrijheidsbeeld is, geldt: `6/a*9300 =2` . Dit betekent `a=27900` cm, dat is `279` m.
De opstaande ribben zijn allemaal even lang. Dus één ribbe uitrekenen is voldoende.
Trek vanuit `E` een loodlijn naar `AB` . Noem dit snijpunt `X` . Dan geldt `EX=sqrt(5^2+4^2)=sqrt(41)` .
Daarna kun je in `ΔAXE` de lengte van de opstaande ribbe `AE` uitrekenen: `AE=sqrt(3^2+41)=sqrt(50)` .
`tan(∠ABF)=sqrt(41)/3` , dat geeft `∠ABF~~65^@` .
Teken in `ΔBCF` de hoogtelijn uit `F` op `BC` . Noem het voetpunt `T` .
Dan geldt `TC=4` .
`cos(∠BCF)=4/sqrt(50)` geeft `∠BCF~~56^@` .
De breedte van de verdiepingsvloer is
`2/5*8 =3,2`
m.
De lengte is
`6 +2 *2/5*3 =8,4`
m.
De oppervlakte is
`3,2 *8,4=26,88`
m².
Hier zie je het bedoelde (rechthoekige) trapezium.
De zijde waar
`83,2`
m bij staat heeft een precieze lengte van
`sqrt(45^2+70^2)=sqrt(6925 )`
.
De langste zijde van het trapezium is
`sqrt(6925 +6,75^2)=sqrt(6970,5625 )≈83,5`
m.
Gebruik goniometrie in het trapezium waarvan de zijden nu bekend zijn.
Behalve twee rechte hoeken is er een hoek van ongeveer `85 ^@` en een hoek van ongeveer `95 ^@` .
`ΔEFP∼ΔGHP`
, hieruit volgt:
`(EF)/(GH)=(EP)/(GP)=2/8=1/4`
.
`ΔCGP∼ΔEPQ`
, hieruit volgt:
`(EQ)/(CG)=(EP)/(GP)=1/4`
.
`CG=8`
en
`(EQ)/8=1/4`
geeft
`EQ=2`
.
`AQ=AE+EQ=8+2=10`
, dus
`AQ=10`
.
`AP=sqrt(35)`
`PQ=sqrt(8)`
`∠APM≈76^@` , `∠AQM≈76^@` en `∠PAQ≈28^@` .