Discrete kansmodellen

Discrete kansmodellen > Wortel-n-wet

123456Wortel-n-wet

Uitleg

Een boogschieter schiet `20` keer op een rond bord ( `0` , `1` , `2` , ..., `10` punten te behalen).
Zijn kansverdeling per schot is:

`x`	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`10`
`text(P)(X=x)`	`0,02`	`0,02`	`0,04`	`0,10`	`0,09`	`0,11`	`0,12`	`0,12`	`0,15`	`0,15`	`0,08`

De verwachting per schot is `6,22` punten met een standaardafwijking van ongeveer `2,56` punten.

De stochast `X` is het aantal punten dat de boogschutter behaalt met één keer schieten. De stochast `T` is het totaal aantal punten bij `20` herhalingen. Omdat elk schot onafhankelijk is van het voorgaande, kun je zowel de optelregel voor verwachtingswaarden als die voor varianties toepassen:
`text(E)(T)=text(E)(X+X+...+X)=text(E)(X)+text(E)(X)+...+text(E)(X)=20·text(E)(X)`
en
`text(Var)(T)=text(Var)(X+X+...+X)=text(Var)(X)+text(Var)(X)+...+text(Var)(X)=20·text(Var)(X)`

Dus bij het totaal van `20` schoten is:

de verwachtingswaarde `text(E)(T)=20·6,22=124,4` punten
de standaardafwijking `σ(T)=sqrt(20*text(Var)(X))=sqrt(20)*sqrt((σ(X))^2)=sqrt(20)*σ(X)≈11,45` punten

Opgave 1

In de Uitleg zie je de stochast `X` , die staat voor het aantal punten dat de boogschutter haalt per schot op een rond bord. Schiet hij twaalf keer op dit bord, dan heb je het over de stochast `12X` .

Controleer dat `text(E)(X)=6,22` en `σ(X)≈2,56` .

Hoeveel punten verwacht je dat de boogschutter haalt als hij twaalf keer op dit bord schiet? En wat is dan de standaardafwijking?

Hoeveel punten verwacht je dat de boogschutter gemiddeld per schot haalt als hij twaalf keer op het bord schiet? En welke standaardafwijking hoort daarbij?

Ligt het voor de hand dat de standaardafwijking kleiner wordt naarmate de boogschutter vaker op dit bord schiet?

Opgave 2

In een doos zitten vijf balletjes met daarop de getallen `2` , `3` , `5` , `7` en `12` .

Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van het getal dat je krijgt bij het aselect trekken van één balletje.

Je trekt twee balletjes met teruglegging. Bepaal van de gemiddelden van de tweetallen de verwachtingswaarde en de standaardafwijking.

Welk verband bestaat er tussen de verwachtingswaarden die je bij a en b hebt berekend?

Laat zien dat je de standaardafwijking bij b ook had kunnen vinden door de standaardafwijking van a te delen door `sqrt(2)` . Geef hiervoor een verklaring.

Opgave 3

`X` stelt het aantal ogen op een dobbelsteen voor.

`T` stelt het aantal ogen voor als je met twee dobbelstenen werpt. Bereken `text(E)(T)` en `σ(T)` .

Welk verband is er tussen `text(E)(X)` en `text(E)(T)` en tussen `σ(X)` en `σ(T)` ?

`bar(X)` is het gemiddelde aantal ogen per worp als je met twee dobbelstenen werpt. Bereken `text(E)(bar(X))` en `σ(bar(X))` .

Welk verband is er tussen `text(E)(X)` en `text(E)(bar(X))` en tussen `σ(X)` en `σ(bar(X))` ?

verder | terug