Discrete kansmodellen > Stochasten optellen
123456Stochasten optellen

Uitleg

Iemand doet aan twee kansspelen mee. Bij het eerste spel kan hij `2` , `4` of `6` punten verdienen, bij het tweede spel `0` of `10` punten. `X` is de stochast voor het aantal punten bij het eerste spel en `Y` die voor het tweede spel. Op grond van voorgaande resultaten heeft hij deze kansverdelingen opgesteld.

`x` `2` `4` `6`
`text(P)(X=x)` `0,20` `0,30` `0,50`
`y` `0` `10`
`text(P)(Y=y)` `0,40` `0,60`

Voor de wedstrijd moeten de scores van beide spelen worden opgeteld. Daarbij past deze kansverdeling:

`x+y` `2` `4` `6` `12` `14` `16`
`text(P)(X+Y=x+y)` `0,08` `0,12` `0,20` `0,12` `0,18` `0,30`

Je kunt nu zelf nagaan dat: `text(E)(X)=4,6` , `text(E)(Y)=6` en `text(E)(X+Y)=10,6` .

Hier geldt dus dat de verwachtingswaarde van `X+Y` gelijk is aan de som van de afzonderlijke verwachtingswaarden.

Ook kun je nagaan dat: `text(Var)(X)=2,44` en `text(Var)(Y)=24` en `text(Var)(X+Y)=26,44` .
Ook de variantie van `X+Y` is gelijk aan de som van de afzonderlijke varianties.
Omdat `(σ(X))^2=text(Var)(X)` moet gelden `(σ(X+Y) )^2= σ(X) ^2+ σ(Y)^2` . En dus `σ(X+Y)=sqrt( σ(X) ^2+ σ(Y) ^2)` .

Opgave 1

Bekijk de kansverdelingen in de Uitleg .

a

Beschrijf hoe de kansverdeling voor `X+Y` tot stand is gekomen.

b

Welke stilzwijgende aanname is daarbij gedaan?

Opgave 2

In de Uitleg wordt het verband besproken tussen de verwachtingswaarden en de standaardafwijkingen van `X` , `Y` en `X+Y` .

a

Bereken zelf de verwachtingswaarden van `X` , `Y` en `X+Y` en ga na dat `text(E)(X+Y)=text(E)(X)+text(E)(Y)` .

b

Bereken zelf de standaardafwijkingen van `X` , `Y` en `X+Y` en ga na dat `(sigma(X+Y))^2=(sigma(X))^2+(sigma(Y))^2` .

c

Waarom wordt deze manier van optellen van standaardafwijkingen wel "pythagorisch optellen" genoemd?

verder | terug