Maak zo nodig een kansverdelingsoverzicht voor `X` en `Y` op je GR en laat de machine gemiddelden (verwachtingswaarden) en standaardafwijkingen berekenen.
Wat je ziet is dat `text(E)(Y)=7=2*3,5=2*text(E)(X)` ; dat is wat er gevraagd werd aan te tonen.
Je vindt, dat `sigma(Y)=2,415...` en `sigma(X)=1,707...` . Dus `text(Var)(Y)=5,833...` en `text(Var)(X)=2,916...` . Hieruit volgt dat `text(Var)(Y)=2*text(Var)(X)` .
Voor iedere stochast `X` geldt `sigma(X)=sqrt(text(Var)(X))` .
Omdat `text(Var)(Y)=2*text(Var)(X)` krijg je met worteltrekken `sigma(Y)=sqrt(2)*sigma(X)` .
Bijvoorbeeld `text(P)(X+Y=2)=text(P)(X=2 text( en ) Y=0)=0,20*0,40=0,08` enzovoort.
Dat `X` en `Y` voor alle gevallen onafhankelijk zijn. Anders geldt de productregel niet op de bij a beschreven manier.
`text(E)(X)=0,2*2+0,3*4+0,5*6=4,6`
`text(E)(Y)=0,4*0+0,6*10=6`
`text(E)(X+Y)=0,08*2+0,12*4+0,2*6+0,12*12+0,18*14+0,3*16=10,6`
`text(Var)(X)=(2-4,6)^2*0,2+(4-4,6)^2*0,3+(6-4,6)^2*0,5=2,44`
`text(Var)(Y)=(0-6)^2*0,4+(10-6)^2*0,6=24`
`text(Var)(X+Y)=(2-10,6)^2*0,08+(4-10,6)^2*0,12+(6-10,6)^2*0,2+`
`(12-10,6)^2*0,12+(14-10,6)^2*0,18+(16-10,6)^2*0,3=26,44`
Hieruit volgt
`sigma(X)=sqrt(2,44)`
;
`sigma(Y)=sqrt(24)`
en
`sigma(X+Y)=sqrt(26,44)`
Omdat deze manier van optellen sterk lijkt op het toepassen van de stelling van Pythagoras.
Voer de waarden in op de GR. Zo kun je `text(E)(X)=6,39` en `text(E)(Y)=7,69` direct aflezen. Je ziet zo ook dat `text(E)(X+Y)=6,39+7,69=14,08` .
Je ziet dat `sigma(X)=2,564...` en `sigma(Y)=2,274...` en dus `sigma(X+Y)=sqrt((sigma(X))^2+(sigma(Y))^2) approx 3,42` .
De berekeningen van de eerste paar kansen zitten als volgt in elkaar:
`text(P)(X+Y=0)=text(P)(X=0)*text(P)(Y=0)`
`text(P)(X+Y=1)=text(P)(X=0)*text(P)(Y=1)+text(P)(X=1)*text(P)(Y=0)`
`text(P)(X+Y=2)=text(P)(X=0)*text(P)(Y=2)+text(P)(X=1)*text(P)(Y=1)+text(P)(X=2)*text(P)(Y=0)`
Op deze manier duurt het verschrikkelijk lang om de kansverdelingstabel in te vullen. De manier bij a is duidelijk een stuk sneller.
Een schotbeurt heeft stochast `3X` . Nu heeft `3X` de waarden `0` , `1` , `2` , `3` , `4` , ..., `29` , `30` . Je moet de bijbehorende kansen uitrekenen, dat is weer flink wat werk. Bijvoorbeeld `text(P)(3X=2)=text(P)(X=0 text( en ) Y=2)+text(P)(X=1 text( en ) Y=1)+text(P)(X=2 text( en ) Y=1)` enzovoort.
Je moet dan de kansverdeling voor `3X` echt helemaal maken en `text(E)(3X)` en `σ(3X)` daarmee berekenen.
`X+2`
Je telt een constante bij de stochast op: de verwachtingswaarde van de nieuwe stochast `X+2` bestaat uit twee onderling onafhankelijke delen (ongeacht `X` wordt er altijd `2` bij opgeteld), dus `text(E)(X+2)=text(E)(X)+text(E)(2)` . De verwachtingswaarde van een constante is die constante zelf.
`text(E)(X+2)=text(E)(X)+text(E)(2)=text(E)(X)+2=6,22+2=8,22`
De standaardafwijking van een constante is `0` (iets wat altijd hetzelfde is, heeft geen mate van spreiding). Je schuift als het ware alle uitkomsten `2` naar rechts. De standaardafwijking "schuift" mee en verandert dus niet.
`sigma(X+2)=sqrt((sigma(X))^2+(sigma(2))^2)=sigma(X) approx 2,56`
Als `X` het aantal ogen op één dobbelsteen is, dus `text(E)(X)=3,5` en `σ(X)=1,7078...` . Gooi je met `10` dobbelstenen, dan is de stochast hier `X+X+...+X+X=10X` . Dat geeft `text(E)(10X)=35` ogen en `σ(10X)=sqrt(10)*sigma(X)≈5,4` .
Hier geldt:
`text(P)(Y-X=text(-)1)=text(P)(Y=1)*text(P)(X=2)`
`text(P)(Y-X=0)=text(P)(Y=1)*text(P)(X=1)+text(P)(Y=2)*text(P)(X=2)`
`text(P)(Y-X=1)=text(P)(Y=1)*text(P)(X=0)+text(P)(Y=2)*text(P)(X=1)`
`text(P)(Y-X=2)=text(P)(Y=2)*text(P)(X=0)`
Je ziet de kansverdeling voor `Y - X` :
`y-x` | `text(-)1` | `0` | `1` | `2` |
`text(P)(Y-X=y-x)` | `0,1925` | `0,4625` | `0,2475` | `0,0975` |
GR:
`text(E)(X)=1,4`
,
`text(E)(Y)=1,65`
en
`text(E)(Y-X)=0,25`
.
Je ziet:
`1,65-1,4=0,25`
.
GR:
`σ(X)≈0,735`
,
`σ(Y)≈0,477`
en
`σ(Y-X)≈0,876`
.
Je ziet:
`0,876^2≈0,735^2+0,477^2`
.
Je mag aannemen dat voor elk lot de kans op een prijs `0,14` is en dat de trekkingen onafhankelijk van elkaar zijn. Noem een lot met een prijs `1` en een lot zonder prijs `0` . De kansverdeling `L` per lot is dan:
`l` | `0` | `1` |
`text(P)(L=l)` | `0,86` | `0,14` |
En dus is per lot
`text(E)(L) =0*0,86+1*0,14=0,14`
.
Voor
`10`
loten is daarom de verwachting
`10 * 0,14 = 1,4`
loten met prijs.
Per lot is `text(Var)(L)=(0-0,14)^2*0,86+(1-0,14)^2*0,14=0,1204` . Voor `10` loten is de standaarddeviatie dus `sqrt(10)*sqrt(0,1204) approx 1,10` .
Per geldstuk geldt deze kansverdeling voor het aantal keren munt `M` dat boven komt:
`m` | `0` | `1` |
`text(P)(M=m)` | `2/3` | `1/3` |
En dus is
`text(E)(M) =0*2/3+1*1/3=1/3`
.
Werp je
`100`
keer met dit geldstuk, dan mag je
`100 * 1/3 approx 33`
keer munt verwachten.
Je ziet dat `text(Var)(M)=(0-1/3)^2*2/3+(1-1/3)^2*1/3=2/9` en dus: `sigma(100M)=sqrt(100)*sqrt(2/9)=(10sqrt(2))/3` .
Noem `Z=X+Y` . Dan is de kansverdeling als volgt:
`z` | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
`text(P)(Z=z)` | `1/6` | `1/6` | `2/6` | `1/6` | `1/6` |
`text(E)(X+Y)=3*1/6+5*1/6+7*2/6+9*1/6+11*1/6=7` .
`text(Var)(X+Y)=(3-7)^2*1/6+(5-7)^2*1/6+(7-7)^2*2/6+(9-7)^2*1/6+(11-7)^2*1/6=6 2/3` dus `sigma(X+Y) approx 2,58` .
`X` en `Y` zijn afhankelijk.
`text(P)(X=1)=1/3`
, dus
`text(P)(X=0)=2/3`
.
Zo is
`text(E)(X)=0*2/3+1*1/3=1/3`
en
`sigma(X)=sqrt((0-1/3)^2*2/3+(1-1/3)^2*1/3)=sqrt(2/9)`
.
De stochast is `X+X+X+X+X=5X` , dus `text(E)(5X)=5*text(E)(X)=5/3` en `sigma(5X)=sqrt(5)*sigma(X)=sqrt(10/9)` .
Je zoekt `text(P)(5X ge 4)=text(P)(5X=4vv5X=5)=text(P)(5X=4)+text(P)(5X=5)` , ofwel de kans dat Charlotte `4` keer wint plus de kans dat ze `5` keer wint.
De kans dat ze `4` keer wint, is de kans op `4` keer succes en `1` keer geen succes maal het aantal volgordes waarin dit rijtje kan: `((5),(1))*(1/3)^4*2/3`
De kans dat ze `5` keer wint, is `(1/3)^5` .
De gevraagde kans is dus `((5),(1))*(1/3)^4*2/3+(1/3)^5 approx 0,0453` .
Noem het aantal rondes `n` , dan geldt `sigma(nX)=sqrt(32)` .
`sigma(nX)=sqrt(n)*sigma(X)=sqrt(n)*sqrt(2/9)=sqrt(32)` en dit geeft `n=144` .
De kansverdeling van `A` is:
`a` | `4` | `5` | `6` | `7` | `8` |
`text(P)(A=a)` | `0,15` | `0,18` | `0,29` | `0,28` | `0,10` |
De kansverdeling van `B` is:
`b` | `5` | `6` | `7` |
`text(P)(B=b)` | `0,32` | `0,41` | `0,27` |
`C` is het gemiddelde cijfer van de twee practicumtoetsen.
`text(E)(A)=6` en `text(E)(B)=5,95` . Dus: `text(E)(C)=1/2(6+5,95) approx 6,0`
Kansverdeling van stochast `C` :
`c` | `4,5` | `5` | `5,5` | `6` | `6,5` | `7` | `7,5` |
`text(P)(C=c)` | `0,10` | `0,16` | `0,13` | `0,19` | `0,20` | `0,16` | `0,06` |
De correcte standaardafwijking voor `C` is afgerond `0,87` .
De somregel voor twee stochasten geldt alleen als de beide stochasten onafhankelijk van elkaar zijn. Dat is nu niet zo.
Noem `K` de waarde van een kaart in je hand. Dan is de kansverdeling van `K` :
`k` | `0` | `1` | `2` | `3` | `4` |
`text(P)(K=k)` | `36/52` | `4/52` | `4/52` | `4/52` | `4/52` |
Per kaart is het verwachte aantal punten:
`text(E)(K) = 0*36/52 + 1*4/52 + 2* 4/52 + 3*4/52 + 4*4/52 = 10/13`
.
Noem
`x`
het aantal kaarten dat je pakt, dan geldt
`x* 10/13 = 10`
en dus
`x=13`
.
De standaardafwijking van een aantal punten bij `13` kaarten is `sqrt(13)*σ(K) ~~ 4,72` punten.
`text(E)(X+Y)=6` en `σ(X+Y)≈2,04`
De kansverdeling voor het aantal keren kop `K` is:
`k` | `0` | `1` | `2` |
`text(P)(K=k)` | `0,25` | `0,50` | `0,25` |
`1` keer kop.
`0,71`
`10` keer kop.
`2,24`