Je kunt nu nul, één, twee, drie of vier treffers hebben. Gebruik eventueel een kansboom.

`text(P)(X = 0) = 0,75^4 ~~ 0,3164`

`text(P)(X = 1) = 0,75^3 * 0,25 * 4 ~~ 0,4219`

`text(P)(X = 2) = 0,75^2 * 0,25^2 * 6 ~~0,2109`

`text(P)(X = 3) = 0,75 * 0,25^3 * 4 ~~0,0469`

`text(P)(X = 4) = 0,25^4 ~~ 0,0039`

` x `	` 0 `	` 1`	` 2 `	` 3 `	` 4`
` text(P)(X = x) `	` 0,3164 `	` 0,4219 `	` 0,2109 `	` 0,0469 `	` 0,0039`

Het verwachte aantal treffers is: `0 * 0,3164 + 1 * 0,4219 + 2 * 0,2109 + 3 * 0,0469 + 4 * 0,0039 = 1`

`text(P)( M = 1 ) = 3 * 4 / 9 * (5 / 9)^2 = 300 / 729`

`text(P)( M = 2 ) = 3 * (4 / 9)^2 * 5 / 9 = 240 / 729`

`text(P)(text(minstens 2 door een man)) = text(P)(M = 2) + text(P)(M = 3) = 240 / 729 + 64 / 729 = 304 / 729`

`text(P)(text(minder dan 2 door een man)) = text(P)(M = 0) + text(P)(M = 1) =125/729+300/729=425 / 729`

Je kunt nul, één, twee of drie keer een zes gooien met drie dobbelstenen.

`text(P)(X = 0) = (5 / 6)^3 = 125 / 216`

`text(P)(X = 1) = 3* 1 / 6 * (5 / 6)^2 = 75 / 216`

`text(P)(X = 2) = 3* (1 / 6)^2 * 5 / 6 = 15 / 216`

`text(P)(X = 3) = (1 / 6)^3 = 1 / 216`

Bekijk de tabel.

`x`	`0`	`1`	`2`	`3`
`text(P)(X = x)`	`125/216`	`75/216`	`15/216`	`1/216`

Verwachtingswaarde is `0 * 125 / 216 + 1 * 75 / 216 + 2 * 15 / 216 + 3 * 1 / 216 = 0,5` .

Als je heel vaak met drie dobbelstenen gooit, mag je per twee keer gooien één zes verwachten.

`m`	0	1	2	3
`text(P)(V=v)`	`24/504`	`180/504`	`240/504`	`60/504`

Naar verwachting worden `0 * 24 / 504 + 1 * 180 / 504 + 2 * 240 / 504 + 3 * 60 / 504 = 1 2 / 3` taken door een vrouw gedaan.

Nee, want de verwachting van de mannen was `1 1/3` en er zijn drie taken uit te voeren. Bovendien is de kans voor een vrouw in de kansboom steeds groter of gelijk aan die van een man.

In totaal zijn er `178` zaaddozen onderzocht (tel alle frequenties bij elkaar op: `1 + 2 + 8 + ... + 23 + 1` ). De relatieve frequentie van het aantal onderzochte zaaddozen met `3` zaden is `1 / 178 ~~ 0,0056` .
Zo werkt het ook bij alle andere relatieve frequenties in deze tabel.

aantal zaden	3	4	5	6	7	8	9	10	11
relatieve frequentie	0,0056	0,0112	0,0449	0,0730	0,1236	0,2528	0,3539	0,1292	0,0056

`text(P)( text(Z) > 8 ) = text(P)( text(Z) = 9) + text(P)( text(Z) = 10) + text(P)( text(Z) = 11) =` `0,3539 + 0,1292 + 0,0056 = 0,4887 ~~ 49` %

`text(P)(text(hoogstens vier zaden per zaaddoos)) = text(P)( text(Z) < = 4) = text(P)( text(Z) = 3) + text(P)( text(Z) = 4) = ` `0,0056 + 0,0112 = 0,0168`

Dit kun je het snelste met de GR doen: het gemiddelde van deze frequentietabel is tevens de verwachtingswaarde van het aantal zaden per zaaddoos. Je kunt natuurlijk ook de standaardberekening van de verwachtingswaarde maken: `3 * 0,0056 + 4 * 0,0112 + 5 * 0,0449 + 6 * 0,0730 + 7 * 0,1236 + 8 * 0,2528 + 9 * 0,3539 + ` `10 * 0,1292 + 11 * 0,0056 ~~ 8,15` .

`k`	`0`	`1`	`2`
`text(P)(K=k)`	`1/4`	`1/2`	`1/4`

`text(P)(text(hoogstens ) 1 text( keer kop)) = text(P)(K le 1) = text(P)(K=0) + text(P)(K=1) = 1/4 + 1/2 = 3/4`

Maak eventueel een kansboom met vier lagen.

Bekijk de tabel.

`j`	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`
`text(P)(J=j)`	`1/16`	`4/16`	`6/16`	`4/16`	`1/16`

`text(P)(J ge 2) = text(P)(J=2) + text(P)(J=3) + text(P)(J=4) = 6/16 + 4/16 + 1/16 = 11/16`

Je kunt deze kans ook sneller berekenen: `text(P)(J ge 2) = 1 - text(P)(J < 2) = 1 - text(P)(J=0) - text(P)(J=1) = 1 - 1/16 - 4/16 = 11/16`

De verwachtingswaarde: `1/16 * 0 + 4/16 * 1 + 6/16 * 2 + 4/16 * 3 + 1/16 * 4 = 2` .

Ieder gezin met vier kinderen heeft naar verwachting twee jongens.

Dus `150*2=300` jongens.

In totaal zijn er `33` balletjes.

`text(P)(X=0) = (30/33)^4 ~~ 0,6830`

`text(P)(X=1) = 4 * 3/33 * (30/33)^3 ~~ 0,2732`

`text(P)(X=2) = 6 * (3/33)^2 * (30/33)^2 ~~ 0,0410`

enzovoort.

`x`	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`
`text(P)(X=x)`	`0,6830`	`0,2732`	`0,0410`	`0,0027`	`0,0001`

Bedenk dat er maar drie groene balletjes zijn, dus je kunt er maximaal drie pakken bij vier keer trekken. De bijbehorende kansboom mist daarom wat takken.

`text(P)(Y=0) = (30/33) * (29/32) * (28/31) * (27/30) ~~ 0,6697`

`text(P)(Y=1) = 4 * (30/33) * (29/32) * (28/31) * (3/30) ~~ 0,2977`

enzovoort.

`y`	`0`	`1`	`2`	`3`
`text(P)(Y=y)`	`0,6697`	`0,2977`	`0,0319`	`0,0007`

De waarden `0` tot en met `4` .

Maak eventueel een kansboom met vier lagen; de situatie is zonder terugleggen.

Totale aantal leerlingen is `28` .

Bereken dan de kansen uit de kansverdeling:

`text(P)(M=0) = 12/28 * 11/27 * 10/26 * 9/25 ~~ 0,0242`

`text(P)(M=1) = 4 * 12/28 * 11/27 * 10/26 * 16/25 ~~ 0,1719`

enzovoort.

`m`	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`
`text(P)(M=m)`	`0,0242`	`0,1719`	`0,3868`	`0,3282`	`0,0889`

Maak met je GR hierbij een staafdiagram.

`0 * 0,0242+1 * 0,1719+2 * 0,3868+3 * 0,3282+4 * 0,0889 = 2,2857 ~~ 2,3` .

Bekijk de tabel.

`z`

`1`

`2`

`3`

`4`

`5`

`6`

`8`

`9`

`10`

`12`

`15`

`16`

`18`

`20`

`24`

`25`

`30`

`36`

`text(P)(Z=z)`

`1/36`

`2/36`

`2/36`

`3/36`

`2/36`

`4/36`

`2/36`

`1/36`

`2/36`

`4/36`

`2/36`

`1/36`

`2/36`

`2/36`

`2/36`

`1/36`

`2/36`

`1/36`

Verwachtingswaarde is: `1 * 1/36 + 2 * 2/36 +` ... `+ 30 * 2/36 + 36 * 1/36 = 441/36 = 12,25` .

`text(P)(text(winst bij 1 spel)) = ` `text(P)(Z>12) = text(P)(Z ge 15) = 2/36 + 1/36 + 2/36 + 2/36 + 2/36 + 1/36 + 2/36 + 1/36 = 13/36` .

Ja. De verwachtingswaarde is € 12,25, dus € 12,00 per spel inzetten, levert gemiddeld (als je heel vaak speelt) winst op.

De winstkans bij één spel is `13/36` .

Kansverdeling:

`text(P)(S=3) = 2 * (1/2)^3 = 1/4` .

`text(P)(S=4) = 6 * (1/2)^4 = 3/8` .

`text(P)(S=5) = 12 * (1/2)^5 = 3/8` . Of `6*(1/2)^4=3/8`

Verwachte aantal sets: `3 * 1/4 + 4 * 3/8 + 5 * 3/8 = 4 1/8` .

`100 * 4 1/8 = 412,5` sets.

Dus `412` of `413` sets.

Bekijk de tabel.

`s`	`3`	`4`	`5`
`text(P)(S=s)`	`44/90`	`22/90`	`24/90`

Verwachtingswaarde is `3 * 44/90 + 4 * 22/90 + 5 * 24/90 = 340/90 = 3 7/9` sets.

`text(P)(S=3) = 2 * 0,5 * 0,7^2 = 0,49` .

`text(P)(S=4) = 2 * 0,5 *0,3^2 * 0,7 + 4 * 0,5 * 0,3 * 0,7^2 = 0,273` .

`text(P)(S=5) = 2 * 0,5 * 0,3 * 0,7^3 + 4 * 0,5 * 0,3^2 * 0,7^2 + 4 * 0,5 * 0,3^3 * 0,7 + 2 * 0,5 * 0,3^4 = 0,237` .

Verwachtingswaarde: `3 * 0,49 + 4 * 0,273 + 5 * 0,237 = 3,747` .

`0,4^3=0,064` dus `6,4` %.

Categorie I: `6,4` %;

Categorie II: `text(P)(text(één keer opgemerkt)) = 3 * 0,4 * 0,4 * 0,6 = 0,288 = 28,8` %;

Categorie III: `text(P)(text(twee keer opgemerkt)) = 3 * 0,4 * 0,6 * 0,6 = 0,432 = 43,2` %;

Categorie IV: `text(P)(text(drie keer opgemerkt)) = 0,6^3 = 0,216 = 21,6` %.

Categorie III komt het meeste voor.

Per ronde wordt `60` % opgemerkt: er zijn dus ongeveer `450/(0,6) = 750` vogels in totaal.

Derde ronde voor het eerst opgemerkt en dus in de eerste en tweede ronde niet, dat overkomt dan ongeveer `0,4 * 0,4 * 0,6 * 750 = 72` vogels.

Zie tabel.

`k`	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`
`text(P)(K=k)`	`0,0625`	`0,25`	`0,375`	`0,25`	`0,0625`

`2`

`50` keer

`text(P)(Z=0 )=1/35 ~~ 0,029` ; `text(P)(Z=1 )=12/35 ~~ 0,343` ; `text(P)(Z=2 )=18/35 ~~ 0,514` en `text(P)(Z=3 )=4/35 ~~ 0,114` .

`22/35`

`1 5/7` vrouwen.