Exponentiële verbanden > Exponentiële functies
123456Exponentiële functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Gebruik je GR: Y1=6*2^X met venster `0 le x le 24` en `0 le y le 10^8` .
Er is geen snijpunt met de `x` -as. Eén snijpunt met de verticale as, namelijk `(0, 6)` .

b

Geen extremen. Een horizontale asymptoot `y=0` .

c

Alleen een horizontale asymptoot `y=0` en een snijpunt met de `y` -as.

Opgave 1
a

Invoeren: `y = 1 * 2^x = 2^x` .
`y = 0` is de lijn waar de grafiek steeds dichterbij komt; de grafiek is stijgend.

b

Invoeren: `y = 3^x` .
`y = 0` is de lijn waar de grafiek steeds dichterbij komt; de grafiek is stijgend.

c

Invoeren: `y=1^x=1` .
Nee; constante grafiek.

d

Invoeren: `y=0,5^x` .
`y=0` is de lijn waar de grafiek steeds dichter in de buurt komt. De grafiek is dalend.

e

Invoeren: `y=2 *1,5^x` .
Voor kleine waarden van `x` nadert de grafiek de lijn `y=0` . De grafiek is stijgend.

f

Invoeren: `y = text(-)2 * 1,5^x` .
`y = 0` is de lijn waar de grafiek steeds dichterbij komt. De grafiek is dalend.

Opgave 2
  • Als `g>1` is de grafiek voortdurend toenemend dalend.

  • Als `g=1` is de grafiek constant.

  • Als `0 < g < 1` is de grafiek voortdurend afnemend stijgend.

  • Er zijn geen nulpunten, de `x` -as is een horizontale asymptoot.

  • Er zijn geen extremen.

Opgave 3
a

Als er elke dag `20` % minder is, blijft er `80` % over.

b

Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 50` en `0 le y le 40` .

c

GR: Y1=40 * 0.8^X en Y2=1 met `0 le x le 50` en `0 le y le 3` geeft: `t gt 16,5` .

Opgave 4
a

De groeifactor van B is groter dan die van A.

b

Voer in: Y1=750000*1.025^X en Y2=620000*1.031^X
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 50` en `0 le y le 2400000` .

Je vindt: `X=32,6138...` , dus `t=32,6138...` .

Opgave 5
a

Dat is de waarde bij `x=0` . Het is dus `200` .

b

Als `x` van `0` naar `14` , dus met `14` toeneemt, wordt `y` vermenigvuldigd met `350/200` . Voor het grondtal `g` geldt daarom `(350/200)^(1/14)~~1,041` .

c

`y=200*1,041^x`

Opgave 6

De grafiek gaat door de punten `( 10, 200 )` en `( 14, 350 )` .

Als `x` van `10` naar `14` gaat, wordt `y` vermenigvuldigd met `350/200 = 1,75` . Voor `g` geldt daarom `g^4 = 1,75` en dus: `g = 1,75^(1/4) ~~ 1,150` .

Invullen: `y = b * g^x = b * 1,150^x` .

Coördinaat invullen: `y = b * 1,150^10 = 200` geeft `4,050*b = 200` en `b = 200/(4,050) ~~ 49` .

Dus: `y = 49 * 1,150^x` .

Opgave 7
a

`S=10000*1,05^t`

Venster bijvoorbeeld: `0 \le x \le 20` en `0 \le y \le 25000` .

b

Los op: `10000 *1,05^t=15000` ofwel `1,05^t=1,5` .
`t=8` geeft `1,4774` en `t=9` geeft `1,5513` , dus `9` jaar.

c

Los op: `1,05^t=2` .
`t=14` geeft `1,9799` en `t=15` geeft `2,0789` , dus `15` jaar.

Opgave 8
a

Maak een tabel bij `1 *1,05^t = 4000` : `170` jaar geleden.

b

Ja. Voer in: Y1 = 4000*1,05^X en Y2 `=1` met venster bijvoorbeeld: `text(-)200 ≤ x ≤ 0` en `0 ≤ y ≤ 3` . De optie intersect geeft dan `x~~ text(-)170` .

c

Nee, er is een horizontale asymptoot `S=0` .

Opgave 9

De groeifactor per acht jaar is: `20/12`
De groeifactor per jaar is: `(20/12)^(1/8)~~1,07` .

Dus `7` % (of nauwkeuriger; bijvoorbeeld `6,6` %).

Opgave 10

Bij lineaire groei geldt voor de beginhoeveelheid: € 650,00. Er komt jaarlijks € 50,00 bij, dus `H= 650+50t` .

Bij exponentiële groei geldt voor beginhoeveelheid `b` : € 650,00. Er komt jaarlijks `5,5` % bij, dus nieuwe percentage is `100+5,5 =105,5` , dus groeifactor `g` is `(105,5)/(100) = 1,055` , zodat `I = b * g^t = 650 * 1,055^t` .

`H` en `I` invoeren op de GR. Snijpunt bepalen: `(12,8 ; 1290)` . Het levert de huurder dus na dertien jaar voordeel op.

Opgave 11

Beide grafieken gaan door `( 0, 10 )` , dus: `b = 10` .

Bij `x = 0` heeft `f` de waarde `10` en bij `x = 1` de waarde `20` , dus: `g = 20/10 = 2` .

Dus: `f= b*g^x = 10 * 2^x` .

Bij `x=text(-)1` heeft `g` de waarde `30` en bij `x = 0` de waarde `10` , dus: `g = 10/30 = 1/3` .

Dus: `g= b* g^x = 10 * (1/3)^x` .

Opgave 12Centenarians
Centenarians
a

De groeifactor over de hele periode is: `9600/1000` .

De groeifactor per jaar is: `(9600/1000)^(1/42) ~~ 1,06` .

Het groeipercentage per jaar is: `6` .

b

De groeifactor per jaar is: `1,08` .
Het aantal centenarians op 1 januari 2034 is: `9600 * 1,08^25` .
Het aantal vrouwelijke centenarians is: `7/8 * 9600 ⋅ 1, 08^ 25 ~~ 57 500` (of nauwkeuriger).

c

De vergelijking `7/8 * 9600 * 1,08^t = 100000` moet worden opgelost.

De optie intersect geeft: `x = 32,18` .

`2009 + 32 =2041` , dus vanaf het jaar 2041 zullen er meer dan `100000` centenarians zijn.

(naar: pilotexamen wiskunde A in 2013, eerste tijdvak)

Opgave 13Radioactief afval
Radioactief afval
a

`g_4=1630/2000~~0,815` , dus `g_12=0,815^3~~0,541` .
`1` jaar voor 6 januari 2017 was de straling `2000 *0,541^(text(-)1)≈3695` Bq (er is met 0,8153 doorgerekend zonder af te ronden). `2,5` jaar na 6 januari 2017 was de straling `2000 *0,541^(2,5)≈431` Bq.

b

`S=2000 *0,541^t`

c

GR: Y1=2000*0,541^X en Y2=1000 met venster bijvoorbeeld: `0 le x le 5` en `0 le y le 2000` . Snijpunt bij `x ~~ 1,1283` . Dus `1,1283` jaar `= 1,1283 * 12 =13,5396 ` maanden `= 13` maanden en `0,5396 * 30 ~~ 16,188` dagen.

Na `13` maanden en `16` dagen, dus vanaf 22 februari 2018.

Opgave 14
a

De groeifactor is groter dan `1` .

b

`t>37,167` .

c

`t < text(-)335,043`

Opgave 15
a

`H=850 *1,055^t`

b

Na `4` jaar, vanaf 1-1-2014.

Opgave 16

`y=59 *1,165^x`

verder | terug