Een middelloodlijn van een lijnstuk is een lijn die loodrecht op dat lijnstuk staat en door het midden ervan gaat.
Maak een tekening en/of werk met de applet.
Het middelpunt is , het snijpunt van de drie middelloodlijnen.
Eigen antwoord, deel alle hoeken in twee gelijke delen.
Ja, als het goed is wel.
Teken een lijnstukje vanuit `D` loodrecht op één van de zijden. Dit lijnstukje is de straal van de ingeschreven cirkel.
Eigen antwoord, verdeel alle zijden in twee gelijke delen.
Ja, als het goed is wel. Dit punt heet het zwaartepunt van de driehoek en is ook echt het natuurkundige zwaartepunt als de driehoek van één soort materiaal is gemaakt en overal even dik is.
Neem bijvoorbeeld driehoek met cm, cm en cm.
Doen.
Ja, als het goed is wel.
Neem bijvoorbeeld driehoek met cm, cm en cm.
Doen, twee hoogtelijnen vallen buiten de driehoek.
Ja.
Teken de drie deellijnen door de hoeken op te meten en middendoor te delen.
De drie bissectrices gaan door punt .
Teken een loodlijntje vanuit
`D`
en loodrecht op (bijvoorbeeld)
`AB`
en geef het punt op
`AB`
de letter
`E`
.
Zet de stalen passerpunt in en de potloodpunt op . De cirkel tekenen en klaar...
Omdat ze gemeenschappelijk hebben en en .
De vergrotingsfactor van naar bedraagt . Dus is .
Verder volgt uit de gelijkvormigheid bij a dat , dus .
Omdat is , (Z-hoeken). En verder is (X-hoeken). Beide driehoeken hebben dus gelijke overeenkomstige hoeken.
Die volgt uit , zie b.
Maak eerst een schets van de situatie. De zwaartelijnen noem je , en .
Omdat de driehoek gelijkbenig is, is de zwaartelijn ook hoogtelijn, dus kun je de stelling van Pythagoras gebruiken: . Daarom is .
Omdat is .
Eigen antwoord. Zorg er voor dat loodrecht op staat.
Uit de congruentie volgt dat en dat . Punt is dus het midden van zijde .
Doen, de derde hoogtelijn gaat door `R` en het snijpunt van de andere twee hoogtelijnen.
Omdat en .
Met de stelling van Pythagoras is en dus .
Vanwege de gelijkvormigheid (maak een verhoudingstabel) bij b is . En de hoogtelijn is even lang.
Teken zo'n driehoek. De zwaartelijnen zijn ook middelloodlijnen en deellijnen. Het snijpunt van de middelloodlijnen is ook snijpunt van de deellijnen en dus middelpunt van zowel de omgeschreven cirel als de ingeschreven cirkel. De omgeschreven cirkel gaat door de hoekpunten van de driehoek, de ingeschreven cirkel door de middens van de zijden.
Doen, teken de zwaartelijnen er in.
Omdat rechthoekig is, kun je de stelling van Pythagoras toepassen. Dus cm. Dat betekent dat cm. Met behulp van de stelling van Pythagoras vind je dan .
Omdat is .
Teken de middelloodlijnen van de driehoek waarvan jouw punten de hoekpunten zijn. Het snijpunt van die middelloodlijnen (aan twee heb je genoeg) is het middelpunt van de cirkel die je wilt tekenen.
Doen, teken de drie zwaartelijnen. Als het goed is gaan ze ook nu door één punt.
Doen, hopelijk lukt het allemaal.
De oppervlakte van een driehoek is de helft van het product van basis en hoogte. De oppervlakte van is dus .
De oppervlakte van is .
De oppervlakte van is .
Omdat een zwaartelijn is, is . En dus zijn deze oppervlaktes gelijk.
Zie figuur.
Noem die zwaartelijn
`CD`
, dan is
`AD=DB`
en zijn de driehoeken
`ADC`
en
`BDC`
congruent (alle overeenkomstige zijden zijn gelijk).
Dit betekent dat
`/_ADC=/_BDC=90^@`
en
`CD`
zowel hoogtelijn uit
`C`
als middelloodlijn van
`AB`
is.
Het betekent ook dat
`/_ACD = /_BCD`
en dus dat
`CD`
bissectrice is.
Teken de driehoek. Zet de drie middelloodlijnen van de zijden er in.
De omgeschreven cirkel heeft het snijpunt van de drie middelloodlijnen als middelpunt
`M`
en bijvoorbeeld
`MA`
als straal.