Omdat `68` % tussen `bar(L) - s_L = 155,6` en `bar(L) + s_L = 168,6` zit, moet `(100-68)/2 = 16` % een lengte van minder dan `bar(L) - s_L = 155,6` cm hebben.
Omdat `95` % tussen `bar(L) - 2s_L = 149,1` en `bar(L) + 2s_L = 175,1` zit, moet er `(100-95)/2 = 2,5` % een lengte van meer dan `bar(L) + 2s_L = 175,1` cm hebben.
Je arceert (kleurt) voor het percentage bij a het gebied onder de normaalkromme tot aan `L=155,6` .
Je arceert (kleurt) voor het percentage bij b het gebied onder de normaalkromme vanaf `L=175,1` .
Kies een lege cel in Excel en voer in =NORM.VERD(150;162,1;6,5;1) en je vindt
`~~0,032`
.
Dit betekent dat
`3,2`
% van de vrouwen korter is dan
`150`
cm.
Kies een lege cel in Excel en voer in
=NORM.VERD(160;162,1;6,5;1)-NORM.VERD(150;162,1;6,5;1) en je vindt
`~~0,343`
.
Dit betekent dat
`34,3`
% van de vrouwen tussen de
`150`
en de
`160`
cm lang is.
Omdat dit gegevens zijn van de hele populatie Nederlandse mannen.
Voer in Excel in: =NORM.VERD(180;182;7;1).
De klasse `179,5 - lt 180,5` .
`text(P)(L lt 180,5) ~~ 0,415` , dus `41,5` %.
`text(P)(L lt 189,5) - text(P)(L lt 174,5) ~~ 0,716` , dus `71,6` %.
Die vuistregel zegt dat
`68`
% van de mannen tussen
`175`
en
`189`
moet zitten. Hierbij houd je met de meetnauwkeurigheid geen rekening.
`text(P)(L lt 189) - text(P)(L lt 175) ~~ 0,683`
, dus
`68,3`
%.
Omdat je nooit een man kunt vinden die precies
`180,0000000...`
cm lang is.
Met de normale verdeling zou je ook
`text(P)(L lt 180) - text(P)(L lt 180) = 0`
krijgen.
`text(P)(L lt 180) - text(P)(L lt 180) ~~ 0,055` en dat is `5,5` %.
`1 - text(P)(L lt 180,5) ~~ 0,585` , dus `58,5` %.
`text(P)(L lt 179,5) = text(P)(z lt (179,5-182)/7) = text(P)(z lt text(-)0,36) ~~ 0,3594` .
`text(P)(L lt 180,5) - text(P)(L lt 179,5) = text(P)(z lt text(-)0,21) - text(P)(z lt text(-)0,36) ~~ 0,4168 - 0,3594` `=` `0,0574` en dat is `5,7` %. (De afrondingen van de `z` waarden zorgen voor kleine afwijkingen.)
`1 - text(P)(L lt 180,5) = 1 - text(P)(z lt text(-)0,21) ~~ 1 - 0,4168 = 0,5832` , dus `58,3` %.
De kans dat een willekeurige man een lengte heeft tussen `162` en `178` cm als je geen rekening houdt met de meetnauwkeurigheid.
Er staat niet dat je rekening met de meetnauwkeurigheid moet houden, dus dat doe je ook niet.
`text(P)(171 < L < 178\|\mu = 182 text( en ) sigma = 7) ≈ 0,226` , dus ongeveer `22,6` %.
`0` %.
`text(P)(170,5 < L < 171,5) ≈ 0,017` , dus ongeveer `1,7` %.
86,6%
`text(P)(G < 140)≈0,278` , dus `27,8` %.
`text(P)(140 < L < 160\|\ μ = 150 text( en ) σ = 17) ≈ 0,444`
Het percentage is
`44,4`
%.
`text(P)(G < 120) ≈ 0,039`
`0,039 *340 ≈ 13` appels.
`text(P)(G < 119,5) ≈ 0,036`
`0,036 *340 ≈12` appels, dus ja, het maakt verschil.
`text(P)(L ≤ g) = text(P)(z le (g - 182)/7) = 0,20` en hieruit volgt `(g-182)/7 ~~ text(-)0,84` en `g ~~ text(-)0,84*7 + 182 ≈ 176,1` cm.
Bedenk dat je dit ook zonder z-tabel kunt berekenen, want deze grenswaarde ligt even ver van de gemiddelde lengte van `182` cm af als lengte van `187,9` cm (vanwege symmetrie) die de grenswaarde was voor de `20` % langste mannen.
`text(P)(L le a) = text(P)(z le (a-182)/7) = 0,60` en hieruit volgt `(a-182)/7 ~~ 0,25` en `g ~~ 0,25*7 + 182 ≈ 183,8` cm.
Uit `text(P)(L le g) = 1/3` volgt `g ≈ 179,0` cm. De maat small is geschikt voor mannen die maximaal `178` cm lang zijn.
Door het antwoord bij c is bekend dat het hier in ieder geval om mannen gaat met een lengte vanaf `179` cm.
`text(P)(L le g) = 2/3` geeft `g≈185,0` cm. De maat M is voor mannen met een lengte vanaf `179` cm en tot en met `184` cm.
De fabrikant moet dan gemiddeld méér suiker in een pak stoppen.
`text(P)(G ≤ 1000) = text(P)(z le (1000-mu)/3) = 0,05` en hieruit volgt `(1000-mu)/3 ~~ text(-)1,64` en `mu~~1000 + 3*1,64 ≈ 1004,9` gram.
Het voordeel voor de fabrikant is dat dit ongeveer evenveel suiker kost, het nadeel kan zijn dat hij een nieuwe machine moet aanschaffen die nauwkeuriger is.
Nu moet `text(P)(G < 1000) = 0,025` , dus `text(P)(z lt (1000-1002)/(sigma)) = 0,025` .
De `z` -waarde bij `0,025` haal je uit de standaardnormale tabel: `z = text(-)1,96` .
`(1000-1002)/(sigma) = text(-)1,96` geeft `sigma = (text(-)2)/(text(-)1,96)~~1,02` .
Nee, het vulgewicht van een pak suiker is een toevalsvariabele, dus er blijft altijd een (heel kleine) mogelijkheid dat er pakken te licht zijn.
`sigma = 255` minuten en dit is gelijk aan `255/60 = 4,25` uur.
`P(L < 75)≈0,120` en hieruit volgt dat het percentage `12,0` % is.
`text(P)(L < 90) = text(P)(z lt (90-mu)/(4,25)) = 0,01`
Met de z-tabel vind je `μ≈99,9` uur en dat is ongeveer `100` uur.
`text(P)(G < 1000) ~~ 0,133` , dus `13,3` %.
`text(P)(G > 1000) = 1 - text(P)(G < 1000) ~~ 0,867` , dus `86,7` %.
`text(P)(G > 1005) = 1 - text(P)(G lt 1005) ~~ 0,7107` , dus `71,1` %.
`text(P)(1005 < G < 1015) = text(P)(G lt 1015) - text(P)(G lt 1005) ~~ 0,4215` , dus `42,2` %.
`text(P)(L gt 170,5) = 1 - text(P)(L lt 170,5) ~~ 0,0981` dus `~~9,8` %.
`text(P)(160,5 lt L lt 169,5) = text(P)(L lt 169,5) - text(P)(L lt 160,5) ~~ 0,4698` dus `~~47,0` %.
`text(P)(159,5 lt L lt 160,5) = text(P)(L lt 160,5) - text(P)(L lt 159,5) ~~ 0,0582` dus `~~5,8` %.
`text(P)(L lt g) ~~ 0,10`
betekent
`text(P)(z lt (g-162,1)/(6,5)) ~~ 0,10`
.
De z-tabel geeft
`(g-162,1)/(6,5) ~~ text(-)1,28`
, dus maximaal
`g ~~ 153,78`
cm.
Die vrouwen waren maximaal
`153`
cm lang.
Minimaal `170,3` , dus minimaal `171` cm.
Los op met de standaardnormale tabel: `text(P)(G lt 900) = text(P)(z lt (900-1000)/(s_G)) = 0,05` .
Dit geeft: `s_G ~~ 60,8` gram.
`100 * text(P)(G < 900) ~~ 4,8` %.
`text(P)(G lt g) ~~ 0,97`
geeft
`text(P)(z lt (g-1000)/(60)) ~~ 0,97`
.
Dus
`(g-1000)/(60) ~~ 1,88`
en
`g ~~ 1112,8`
g.
Deze zwaarste kerststollen zijn
`1113`
gram of zwaarder.
`75` % van de zwangerschappen duurt tussen `280 - 14 = 266` en `280 + 14 = 294` dagen.
Dus `12,5` % van de zwangerschappen duurt minder dan `266` dagen.
`text(P)(T lt 266) = text(P)(z lt (266-280)/(sigma)) = 0,125` .
Dit geeft: `σ ≈ 12,2` dagen.
Bij ongeveer `199205 * text(P)( T < 252) ~~ 2164` bevallingen duurde de zwangerschap minder dan `36` weken.
De normaal verdeelde kansvariabele `L` is het aantal jaren levensduur van een tablet van merk S.
Alleen het gemiddelde aanpassen, zodanig dat `text(P)(L gt 2) ge 0,975` :
`text(P)(L gt 2) = text(P)(z lt (2-mu)/(0,32)) = 0,975` geeft een gemiddelde van `2,62` levensjaar: `0,027` levensjaar extra.
de kosten hiervan zijn `(0,027 * 52) * 0,01 = 0,01404` euro en dat is meer dan `1,4` eurocent per tablet: dit is te veel.
Alleen de standaardafwijking aanpassen, zodanig dat `text(P)(L gt 2) ge 0,975` :
`P(L>2) = text(P)(z lt (2-2,60)/(sigma)) = 0,975` geeft een standaardafwijking van `0,306` levensjaar: `0,014` levensjaar minder afwijking;
de kosten hiervan zijn `(0,014 * 52) * 0,02 = 0,01456` euro en dat is meer dan `1,4` eurocent per tablet: dit is te veel.
Een combinatie van aanpassingen aan gemiddelde en standaardafwijking is wellicht noodzakelijk:
Kies het gemiddelde weer iets kleiner dan de gevonden
`2,627`
(maar groter dan de oorspronkelijke
`2,6`
) levensjaar,
en
Kies de standaardafwijking weer iets groter dan de gevonden `0,306` (maar kleiner dan de oorspronkelijke `0,32` ) levensjaar
totdat de kosten 1,4 eurocent per tablet of lager zijn.
Als het goed is, valt nu een patroon op: als je beide aanpast, komen de kosten nooit onder de `0,01456` euro uit.
Het is daarom niet mogelijk om te sleutelen aan gemiddelde of standaardafwijking zodanig dat aan beide voorwaarden wordt voldaan.
Maximaal `2*9 = 18` gram.
Het percentage pakken dat zonder meer wordt afgekeurd, bereken je met `text(P)(G lt 182) + text(P)(G gt 218) ~~ 0,0026` . Dus dat is ongeveer `0,3` %.
Verder bereken je het percentage pakken dat `9` afwijkt van het gemiddelde met `text(P)(G lt 191) + text(P)(G gt 209) ~~ 0,1336` . Dus dat is ongeveer `13,4` %. Dus geen gering aantal.
`text(P)(G lt 191) = text(P)(z lt (191-mu)/6) = 0,001` geeft `mu ~~ 209,54` g.
`text(P)(G lt 191) = text(P)(z lt (191-200)/(sigma)) = 0,001` geeft `sigma ~~ 2,91` g.
`0,09*17 ≈ 1,53` g.
`text(P)(G lt 17) ≈ 0,0912` dat is `9,12` %.
Het percentage pakjes dat onder `17 - 1,53` g zit bereken je met `text(P)(G lt 15,47) ~~ 0,009` , dus dat is minder dan `1` %.
Het percentage pakjes dat onder `17 - 2*1,53` g zit bereken je met `text(P)(G lt 13,94) ~~ 0,000` en dat is `0` %.
`~~9,12` %.
`~~25,25` %.
`~~11,09` %
`g~~0,9953` liter.
`~~1,035` liter.
Ongeveer `0,27` %.
Ongeveer `4,3` %.
`144,5` of meer.